Todas las funciones continuas en el cerrado de la unidad de intervalo son analíticas

Question

Supongamos $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ es una función continua. Por Weierstrass' teorema existe una secuencia de polinomios $\{p_i\}$, de modo que $p_i \to f$ uniformemente. Ahora definir la siguiente secuencia $\{q_i\}$$q_1 = p_1$$q_i = p_i - p_{i-1}$. Entonces tenemos que $\sum_{i=0} ^n q_i \to f$ uniformemente. Y así, $\sum_{i=0} ^{\infty}q_i$ es una suma de polinomios y, por tanto, un de potencia de la serie que converge a $f$ $f$ es analítica.

¿Cuál es el error?

Answer 1

El error es que su suma a a $N$ de polinomios puede meterse con el "primero" de los coeficientes al grupo en el poder-serie-como la forma en que siempre que se cambie $N$. Una potencia de serie no permite que: siempre que truncar, los coeficientes de una menor de truncamiento se "conserva".

Como una analogía, pensemos en una línea de personas que forman fuera de su casa, un día a la vez. Un de potencia de la serie es sólo la gente nueva que viene. Su suma puede cambiar a las personas que estaban allí ayer.

Para ver que esto suceda matemáticamente, tomar una secuencia de polinomios de aproximación de $f(x)=|x|$$[-1,1]$.

Más concretamente, supongamos por ejemplo que su $q_0=x$, $q_1=x^2-3x+1$ y $q_2=-2x^2+8x-4$. Entonces $\sum_{i=0}^1q_i=x^2-2x+1,$ $\sum_{i=0}^2 q_i=-x^2+6x-3$. ¿Cómo se propone usted para formar una potencia de serie, si esto sigue ocurriendo (que sin duda es permitido)?

Answer 2

Definir los polinomios de Chebyshev en la forma habitual:

$$\begin{eqnarray} T_0(x) && = && 1 \\ T_1(x) && = && x \\ T_{n+2}(x) && = && 2xT_{n+1}(x) - T_n(x) \end{eqnarray}$$

Recordemos que estos tienen la propiedad de que $T_n(\cos(\theta)) = \cos(n\theta)$. En particular, $-1 \leq T_n(x) \leq 1$$-1 \leq x \leq 1$.

Deje $q_0(x) = 0$ $i>0$ deje $q_i(x) = (-1)^i T_{3i}(x)/i^2$. Como en la pregunta, vamos a $f(x) = \sum_{i=0}^\infty q_i(x)$, y tenga en cuenta que la convergencia es uniforme en [0, 1]. Aquí es un gráfico de $f$; claramente no es analítica:

Vamos a tratar de calcular la potencia de la serie, como se sugiere en la pregunta. ¿Cuál es el coeficiente de $x^3$? En $T_n(x)$, el coeficiente de $x^3$ crece como $n^3$. Por lo tanto, en $q_i(x)$ el coeficiente de $x^3$ crece como $i$. Tenemos a la suma de la serie, pero la suma diverge.

Answer 3

Primero de todo, un de potencia de la serie es el límite de una secuencia de la forma $f_k(x) = \sum_{n=0}^k c_n x^n$ pero aquí es $f_k(x) = \sum_{n=0}^{d_k} c_{n,k} x^n$ que es diferente, de modo que los teoremas acerca de potencia de la serie no se aplican.

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Más generalmente, el error consiste en que si una secuencia de complejas funciones analíticas $f_n : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ converge uniformemente a$f$$U \subset \mathbb{C}$, entonces :

• $f$ es continua en a $U$

• si $U$ es abierto en la topología compleja, a continuación, $f$ es complejo analítica en $U$. Pero $U = (0,1)$ está abierto en el real de la línea de la topología, no en la topología compleja

  ($U$ es abierto en la topología compleja iff para cualquier $z_0 \in U$ existe $\epsilon > 0$ tal que $\{z \in \mathbb{C}, |z-z_0| < \epsilon\} \subset U$)

Un ejemplo útil es con la serie de Fourier : si $f$ $2\pi$ periódica y continua, a continuación, $f_n(x) = \sum_{k=-n}^k c_k e^{ikx}, c_k = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x) e^{-ikx}dx$ es una secuencia de funciones analíticas que convergen uniformemente a $f$. Pero por supuesto, esto no quiere decir $f$ es analítica.