Deje $X$ ser un conjunto no vacío. Demostrar que $F_X$, el grupo libre en $X$ tiene solución si y sólo si $|X| = 1$.
Podemos ver que si $|X| = 1$, $F_X$ es abelian, y, por tanto, de posible solución. Sin embargo, la otra dirección tocones de mí. Alguna sugerencia?
Sí: un cociente de una solucionable grupo es solucionable. Cada grupo libre de rango mayor que $1$ tiene el grupo libre de rango $2$ como un cociente (sólo matar a todos, pero dos de los generadores libres), por lo que es suficiente para encontrar un nonsolvable grupo, que puede ser generado por dos elementos. Intente $A_5$ por ejemplo...
Otra posibilidad es mostrar que el colector de un subgrupo de un no-abelian grupal gratis, $F$ es en sí mismo un no-abelian gratis de grupo; por lo tanto, la secuencia de $D^n(F)$ no se estabiliza en $\{1\}$, e $F$ no es solucionable.
De hecho, $D(F)$ es un grupo libre por Nielsen-Schreier teorema, y usted puede notar que la $[x,y]^n[x,y^2]^m \neq 1$$nm \neq 0$, por lo que no es cíclico (y, en consecuencia, no abelian).
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