De dimensiones infinitas extensiones de $\mathbb Q$

Question

Necesito ayuda para resolver el siguiente ejercicio:

Deje $X$ ser un indeterminado sobre $\mathbb Q$ (para un trascendental número) y en el campo de las extensiones de $\mathbb Q\subseteq \mathbb Q(X^3)\subseteq\mathbb Q(X^2)\subseteq\mathbb Q(X)$. Demostrar que $$\mathrm{Fix}(\mathrm{Gal}(\mathbb Q(X)/\mathbb Q(X^2)) )= \mathbb Q(X^2)$$ and that $$\mathrm{Fix}(\mathrm{Gal}(\mathbb Q(X)/\mathbb Q(X^3)) )\supsetneq\ \mathbb Q(X^3).$$

Espero que las notaciones $\mathrm{Gal}({}\cdot{}/{}\cdot{})$ $\mathrm{Fix}({}\cdot{})$ son bastante estándar y de manera comprensible.

De mis consideraciones: Los subgrupos $H\subseteq G=\mathrm{Gal}(\mathbb Q(X)/\mathbb Q)$ que satisfacen la condición $\mathrm{Gal}(G/\mathrm{Fix}(H))=H$ son sólo los subgrupos finitos de $G$. Así que una manera de resolver el problema podría estar mostrando que $\mathrm{Gal}(\mathbb Q(X)/\mathbb Q(X^2))$ es un grupo finito, sino $\mathrm{Gal}(\mathbb Q(X)/\mathbb Q(X^3))$ es un infinito de grupo.

Gracias de antemano

Answer 1

Prefiero escribir $\;t\;$ a través en lugar de $\,x\,$ , lo cual puede ser engañoso (para mí, en particular) para la variable/desconocido/indeterminado utiliza para las funciones y/o polinomios.

Ahora, podemos escribir

$$\Bbb Q(t)=\Bbb Q(t^2)[t]$$

puesto que el $\,t\,$ es algebraico sobre $\,\Bbb Q(t^2)\,$ como es una raíz de la ecuación cuadrática $\,f(X):=X^2-t^2\in\Bbb Q(t^2)[X]\,$ (recuerde que si $\,F/k\,$ es una extensión de campos y $\,w\in F\;$, $\,w\,$ es algebraico sobre $\,k\,$ iif $\,k(w)=k[w]\,$

Desde que claramente tanto en $\,t\,,\,-t\in\Bbb Q(t)\,$ , la extensión es normal (y algebraicas y separables) y por lo tanto Galois, y hemos terminado con la primera tarea

OTOH, nosotros también tenemos ese $\,\Bbb Q(t)=\Bbb Q(t^3)[t]\,$ por el mismo motivo que el anterior, con $\,g(X)=X^3-t^3\in\Bbb Q(t^3)[X]\;$ , sin embargo, esta vez tenemos que

$$X^3-t^3=(X-t)(X^2+tX+t^2)$$

y el segundo grado por encima del discriminante es

$$\Delta=t^2-4t^2=-3t^2\;,\;\;\text{and}\;\;\sqrt{-3t^2}\notin\Bbb Q(t^3)\;\text{(why?)}$$

Por lo tanto, la extensión es este caso es no normal y por lo tanto no Galois, y en el hecho de $\;Gal(\Bbb Q(t)/\Bbb Q(t^3))=1\;$ , y la de este grupo de campo fijo es...