contorno integral cálculos

Question

Deje $C$ ser el límite de la plaza cuyos vértices son $1+i$, $1-i$, $-1 + i$ $-1 -i$ . Supongamos que $C$ está orientado hacia la izquierda. Cómo calcular

a) $$\int_C \frac{e^z}{z-1/2} \, dz$$

b) $$\int_C \ln(z+3) \, dz$$

c) $$\int_C \bar{z} \, dz$$

Yo seee que podemos utilizar $f'(z)z'$ y tal vez podamos continuar esta utilizando una definición de Cauchy Riemann?

También, podemos utilizar el teorema fundamental del cálculo en esto?

Answer 1

Para c) $\int_C \overline{z} dz=2i {\rm Area} (R) $ donde $R$ es el interior de $C$. Esto se deduce de la Verde del teorema desde $\int_C (x-iy)(dx+idy)=\int_C xdx-ydy +i \int_C -ydx+xdy =2i \int \int_{R} dx dy =2i {\rm Area} \ (R)$

Para a) el Uso de Cauchy de la integral de la fórmula

$f(a)=\frac{1}{2\pi i} \int_{C} \frac{f(z)}{z-a} \ dz $

con $f(z)=e^z$ $a=\frac{1}{2}$.

Answer 2

Es igual a $2\pi i e^{1/2}$, por la integral de Cauchy teorema. Observe que la curva de $C$ vientos sobre el punto de $z = 1/2$ exactamente una vez.

Answer 3

En su primera integral, el numerador es toda una función que no tiene ceros. Dado que se trata de toda una función, no tiene polos, por lo que la fracción puede tener un polo sólo si el denominador tiene un cero. Debido a que el numerador no tiene ceros, cada lugar en el que el denominador tiene un cero será un polo de la función definida por la fracción. El punto donde el denominador tiene un cero en el INTERIOR de la plaza. El valor del numerador y en ese punto se $e^{1/2}$. De modo que la integral es igual a $$ e^{1/2}\int_C \frac{dz}{z-1/2}. $$ En general, la integral de la $\displaystyle\int_B \frac{dz}{z-a}$ sólo depende de si $a$ está dentro o fuera de la curva de $B$ si $B$ vientos de una vez alrededor de cada punto que lo rodea.

Es más que suficiente para que usted pueda averiguar el primero? (Si no, me pueden agregar más).

El segundo tiene un punto de ramificación en$-3$, pero se comporta bien dentro de la plaza se ha de describir, es decir, es holomorphic en la curva y en la región de los vientos alrededor. Que usted obtiene el valor de la integral de forma casi instantánea, por citar un conocido teorema.

Para el tercero, la integral de la compleja conjugada de una función es el complejo conjugado de la integral. Para encontrar $\displaystyle \int_C z~dz$ citando el teorema mencionado en el párrafo anterior, y tome su conjugado.

Nota posterior: @mary : Tu comentario anterior sobre el residuo teorema sugiere que podría tener algunas dificultades con lo que escribí anteriormente. El $2\pi i$ que usted menciona es, de hecho, el valor de la integral de la $\displaystyle\int_C\frac{dz}{z-1/2}$, y si eres arare de que "$2\pi i$", puede averiguarlo. Sin embargo, el residuo es el teorema no se limite a la búsqueda de las integrales cuyo valor es $2\pi i$. Más bien, el residuo teorema dice que la integral a lo largo de una curva que serpentea alrededor de todos los puntos que la rodea es $2\pi i$ veces la suma de los residuos en todos los puntos rodeado por la curva donde la singularidad se produce. (Al menos si se supone que sólo un número finito de puntos, y eso es suficiente para la presente ocasión.) Donde se integran $z~dz$, está integrando una función que tiene no las singularidades, de ahí que la suma es $0$. Cuando se integran $\ln(z+3)~dz$, no hay sigularities en los puntos en que la curva de los vientos alrededor, por lo que la suma es $0$.