Encontrar todas las funciones diferenciables $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $f(0)=1$ tal que $f'(x)=f(-x)^4f(x)$, para todos los $x \in \mathbb{R}$.
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LeGrandDODOM
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La definición de la relación $f'(x)=f^4(-x)f(x)$ implica que el $f$ es continuamente diferenciable (de hecho, es incluso $C^\infty$).
Establecimiento $-x$ en la relación $f'(x)=f^4(-x)f(x)$, se pone en $\forall x, f'(-x) = f^4(x)f(-x)$.
Multiplicando $f'(x)=f^4(-x)f(x)$ $f^3(x)$ rendimientos $$\forall x, f'(x)f^3(x) = f^4(-x)f^4(x)=[f^4(x)f(-x)]f^3(-x)=f'(-x)f^3(-x)$$
es decir $x\mapsto f'(x)f^3(x) $ es incluso.
Por lo tanto, $\displaystyle \int_{-x}^xf'(t)f^3(t) dt = 2\int_{0}^xf'(t)f^3(t) dt$, y desde una antiderivada de $f'f^3$$\displaystyle \frac{f^4}4$, esto implica $$\forall x, f^4(x)+f^4(-x)=2$$
La sustitución de $f^4(-x)$ en la definición de la relación, uno se $$\forall x, f'(x)=2f(x)-f^5(x)$$
Por Picard–Lindelöf teorema, esto no lineal de la ecuación diferencial (con condición inicial $f(0)=1$) tiene una única solución global. El uso de una computadora u otros medios, uno encuentra que las $$x\mapsto \frac{\sqrt[4]{2} e^{2 x}}{\sqrt[4]{e^{8 x}+1}}$$ es una solución de la ecuación diferencial, por lo que debe ser el único.
Por el contrario, es fácil comprobar que $x\mapsto \frac{\sqrt[4]{2} e^{2 x}}{\sqrt[4]{e^{8 x}+1}}$ es de hecho una solución a la original funcional de la ecuación.
