La deformación se retracte de $\mathbb{R}^3$ menos de un tetraedro

Question

Pregunta de un examen en un curso de introducción en topología algebraica.

Llame a $X$ el espacio $\mathbb{R}^3$ menos de los bordes (dimensiones) de un tetraedro. Qué $X$ deformación retractarse en un CW complejo con dos 0-células y cuatro 1-las células unidas entre esos dos puntos?

Mi respuesta sería que no, porque he encontrado una deformación de retracción de $X$ sobre una esfera, junto con su centro y a 4 rayos, pero no estoy muy seguro de ello. Pero si este el caso, entonces la respuesta a la pregunta original no sería debido a una deformación de retracción induce un homotopy de equivalencia y esto no es posible, ya que el último espacio tiene por ejemplo no trivial segundo grupo de homología.

Answer 1

Esta pregunta parece haber sido específicamente diseñado para hacer que te das cuenta de que la homología de grupos de un espacio a veces puede escoger homotopical información acerca de un espacio que no está incluida en el grupo fundamental solos. En este caso, tenemos $X$ que es homotopy equivalente a $S^2\vee S^1\vee S^1\vee S^1$ (como se ha señalado con razón, aunque fueron un pequeño paso lejos de alcanzar) y, a continuación, tenemos un espacio en el que voy a llamar a $Y$ que es homotopy equivalente a $S^1\vee S^1\vee S^1$.

Ahora bien, $X$ $Y$ están conectados y la ruta de acceso conectado (el primer lugar nos gustaría que nos mira a ver si dos espacios fueron homotopy equivalente). También, $X$ $Y$ tienen el mismo grupo fundamental por una aplicación trivial de Van-Kampen del teorema de dar $$\pi_1(X)\cong\pi_1(Y)\cong F_3$$ where $F_3$ is the free group on three generators. This also tells us that $H_0$ and $H_1$ will be isomorphic as $H_0$ counts path components and $H_1\cong\pi_1^{ab}$ el abelianisation del grupo fundamental.

Donde es el próximo lugar para buscar entonces? Hay algunos enfoques que yo sugeriría inicialmente. La primera sería tenga en cuenta que $\pi_2(X)$ no es trivial (generado por la inclusión de $S^2$ en el producto exterior) y $\pi_2(Y)$ es trivial como $Y$ es un gráfico. Sin embargo, no han cumplido con la mayor homotopy grupos aún así caso omiso de este enfoque si usted no tiene.

A continuación, me gustaría sugerir simplemente el cálculo de la homología de grupos. Esto es bastante fácil si usted ha tenido suficiente práctica el cálculo de homología simplicial y usted debe encontrar que el $H_2(X)$ no es trivial (de nuevo generado por la inclusión de mapas), mientras que $H_2(Y)$ es trivial (utilizando un estándar de dimensión argumento). Este es probablemente el enfoque de su texto/profesor espera.

El último enfoque que yo sugeriría, que puede ser cómodo, es encontrar la cobertura universal de $X$$Y$. Sabemos que $Y$ es un gráfico y lo universal de la cubierta de la $\tilde{Y}$ es contráctiles, sin embargo $X$ tiene una cobertura universal $\tilde{X}$ que no contráctiles (esencialmente del mismo argumento que $S^2$ no contráctiles, el mapa de identidad $S^2\rightarrow S^2$ no es homotópica a la constante mapa). Este último enfoque es probablemente más artificial que la de los otros dos enfoques, aunque como la forma más fácil de mostrar que el mapa de identidad $S^2\rightarrow S^2$ no es homotópica a la constante mapa es el uso de celulares homología.