¿Es la invariancia local de Lorentz + difeomorfismo equivalente a la invariancia local completa de Poincaré?

Question

Considere la Relatividad General clásica sin la torsión campo (la conexión afín ya se supone simétrica desde el principio). Es bien sabido que esta teoría es independiente de las coordenadas utilizadas. La física sigue siendo la misma cuando realizamos una pasivo cambio de coordenadas. Esto se conoce como covarianza general y cualquier teoría podría ser formulada de esta manera. No es una característica fundamental de la RG.

También se sabe (pero hay mucha confusión al respecto) que la RG también es invariante bajo transformaciones de coordenadas activas (también conocido como difeomorfismos ), que podrían interpretarse como una especie de transformaciones gauge, y no como simples cambios de coordenadas locales. Esta propiedad describe la física Una transformación activa de las coordenadas locales "empuja" el punto del espaciotiempo a otro lugar de la misma matriz. La invariancia de la teoría bajo tales transformaciones gauge dice que la física es la misma en cualquier lugar de la variedad. Cualquier punto del espaciotiempo es equivalente, para describir la física, y la teoría es fondo independiente . Creo que se trata de una sutil formulación de invarianza de traslación , en GR.

Por favor, no confundas la propiedad general anterior con alguna simetría de la métrica (es decir, isometría). Estoy considerando espacios-tiempo generales, no soluciones particulares con alguna simetría especial (isotropía, homogeneidad, etc).

GR también está incorporando invariancia local de Lorentz (en cualquier punto del espaciotiempo), que dice que la física es independiente del marco local utilizado por el observador (aceleración, ejes giratorios, caída libre, ...).

Normalmente, el grupo de Poincaré completo (Lorentz + traslaciones) no se hace local en la RG estándar: sólo se hace local la parte homogénea de Lorentz. Me pregunto si la parte de las traslaciones "que falta" está sutilmente incluida a través de la invariancia del difeomorfismo.

Así que la pregunta es la siguiente: ¿Es la invariancia local de Lorentz + la invariancia de difeomorfismo (cambios de coordenadas activos) de la RG clásica equivalente a la invariancia local completa de Poincaré?

Espero que algunos digan "NO" a la pregunta anterior, porque se supone que la invariancia local completa de Poincaré trae torsión en la RG (nunca he visto ninguna prueba convincente de ello). La torsión (es decir, la parte antisimétrica de la conexión afín) suele ser se supone que para desvanecerse trivialmente desde el principio en la RG, pero no hay ninguna contradicción en dejar que entre en la formulación clásica de la RG. No veo por qué tenemos que "añadir" explícitamente la invariancia de traslación local para obtener la torsión. Puede estar ya presente en la RG clásica, y sospecho que esto se debe a la invariancia del difeomorfismo, interpretada como una formulación de la invariancia de traslación local.

Nunca había visto esa interpretación, así que necesito opiniones al respecto. Tal vez lo esté entendiendo mal.

Si la respuesta es realmente un gran "NO", entonces cómo describimos invarianza de traslación local para introducir explícitamente la torsión en la teoría? Hasta donde yo sé, la torsión podría añadirse directamente a la RG clásica, sin necesidad de hablar explícitamente de invariancia de traslación local.

Answer 1

No puedo darte una respuesta completa, ese honor tiene que pasar a otra persona, pero sin embargo puedo darte alguna información que podrías valorar.

También se sabe (pero hay mucha confusión al respecto) que la RG también es invariante bajo transformaciones de coordenadas activas (también conocidas como difeomorfismos), que podrían interpretarse como una especie de transformaciones gauge, y no como simples cambios de coordenadas locales.

Sinceramente, creo que esto es un error. La cuestión es que, si se elige el formalismo de coordenadas locales, los diffeos activos no se pueden distinguir de diffeos pasivos. Todos ellos son mapas de la forma $$ y^\mu=\Phi^\mu(x^1,...,x^n). $$ Si su teoría es invariante bajo una, es invariante bajo ambas.

La independencia del fondo es una afirmación independiente de la invariancia del difeomorfismo. O al menos es independiente en la medida en que la invariancia del difeomorfismo es necesaria para la independencia de fondo, pero la invariancia del difeomorfismo, activa o pasiva, no implica la independencia de fondo.

La independencia del fondo, al menos mientras consideremos sólo el comportamiento local y no los aspectos topológicos globales es consecuencia de que la métrica es dinámica y está sujeta al EFE $G_{\mu\nu}=8\pi G T_{\mu\nu}$ .

Consideremos un espaciotiempo arbitrario $(M,g)$ donde $g$ es una métrica plana en el sentido de que $\text{Riem}[g]=0$ . Cualquier teoría que se construya sobre este espaciotiempo no será independiente del fondo, porque la condición de planitud restringe, al menos localmente, la geometría del espaciotiempo a ser minkowskiana. Sin embargo, si $S=0$ es una ecuación tensorial, y $\phi:M\rightarrow M$ es un difeomorfismo, entonces $$ \phi^\ast S=0 $$ también se satisface, por lo tanto, es invariante del difeomorfismo.

Puede leer una muy buena discusión sobre la relación entre covarianza general , invarianza general (esta terminología no es estándar, creo) y independencia de fondo en la Relatividad General de Straumann.

porque se supone que la invariancia local completa de Poincaré introduce la torsión en la RG (nunca he visto ninguna prueba convincente de esto)

Una prueba convincente, que sólo esbozaré/explicaré aquí pero que no haré realmente, puede encontrarse en Kobayashi & Nomizu (Foundation of Differential Geometry vol 1).

La cuestión es que las transformaciones locales actúan sobre los espacios tangentes individuales $T_pM$ para todos $p\in M$ . En un espacio tangente, se puede interpretar fácilmente una transformación homogénea/lineal, pero ¿qué hacen los desplazamientos de la forma $v^\mu +a^\mu$ ¿quieren decir? Después de todo $T_pM$ no suele interpretarse como un espacio de puntos .

Sin embargo, se puede construir un haz de fibras llamado haz afín que es esencialmente un haz de fibras cuyas trivializaciones locales son de la forma $U\times A$ donde $U\in \tau_M$ es un subconjunto abierto de $M$ y $A$ es un espacio afín. Una conexión sobre un haz afín se llama conexión afín. Existe una sutil relación entre las conexiones afines y las conexiones lineales (conexiones sobre haces vectoriales) y, en la gran mayoría de los casos, una conexión afín induce una conexión lineal en un haz vectorial asociado (que básicamente puede obtenerse a partir de un haz afín eligiendo una sección cero), por lo que las conexiones afines son algo más generales, pero para casi todos los casos relevantes, son esencialmente lo mismo (de ahí que normalmente las fuentes menos precisas utilicen los dos términos como sinónimos).

También se puede construir un haz de tramas afines como un haz principal asociado a un haz afín. Si el haz vectorial más general de rango $k$ admite un haz principal asociado cuyo grupo estructural si $\text{GL}(k,\mathbb R)$ entonces el haz principal más general asociado a un haz afín tiene $\text{GL}(k,\mathbb R) \rtimes \mathbb R^k$ como su grupo de estructura. El álgebra de Lie de este grupo es entonces isomorfa a $\mathfrak{gl}(k,\mathbb R)\oplus \mathbb R^k$ por lo que cualquier conexión en este haz principal puede escribirse como un par $$ (\theta^a,\omega^a_{\ b}), $$ donde el primero es un $\mathbb R^k$ -y la segunda es una $\mathfrak{gl}(k,\mathbb R)$ -de la forma 1. Esta última puede identificarse como la forma de conexión habitual de un $\text{GL}(k,\mathbb R)$ -mientras que la primera puede identificarse con la forma 1 tautológica/soldadura en el haz de tramas habitual. Se sabe que la torsión de una conexión lineal habitual viene dada por $$ T=d_\omega \theta, $$ y la curvatura viene dada por $$ \Omega=d_\omega\omega. $$ Sin embargo, desde el punto de vista del haz afín, ambos $\theta$ y $\omega$ son formas de conexión, por lo que se puede ver esencialmente que la torsión es la parte "traslacional" de la curvatura y $\Omega$ es la parte "lineal" de la curvatura (rotacional en caso de compatibilidad métrica).

Sin embargo, nótese que, una vez más, la invariancia de traslación local (representada por el haz afín) no es suficiente para la torsión no evanescente, sólo la permite. Y puesto que, como he dicho, la mayoría de las veces hay isomorfismos fuertes entre conexiones lineales y afines, todo este formalismo es no es necesario La interpretación de la torsión en términos de la parte de traslación de una conexión. Sin embargo, puedes incorporar la torsión a tu teoría por medios más pedestres.