Raíces reacias: $n$ es una raíz primitiva de $p$ pero no de $p^2$

Question

Estaba mirando el raíces primitivas $n \bmod p$ y $p^2$ para ver con qué frecuencia obtenemos raíces primitivas de un primo que no son raíces primitivas del cuadrado de ese primo. Llamaré a esto raíz reacia de $p$ .

Es muy raro.

Con $p$ limitado a un poco menos de $38000$ No he encontrado ningún caso de este tipo para $n<10$ . En concreto, empecé buscando casos en los que $2$ es una raíz reacia, y al no encontrar ninguna amplié la búsqueda. El primer caso que encontré fue $n=11, p=71$ cuando estaba mirando $n$ primo, pero también hay razones para $n=10, p=487$ . En estos casos, como en la mayoría de los demás, y tomando sólo $n<p,$ este fue el único caso de este tipo a pesar de los muchos cientos de primos para los que $n$ era una raíz primitiva.

Buscar al revés, buscar raíces reticentes de varios primos $p,$ Encontré que en la primera $400$ primos, que tienen un total de $190111$ raíces primitivas, sólo hay $143$ raíces reacias a través de $122$ primos. La mayoría de los primos no tienen raíces reticentes; los primeros primos que tienen raíces reticentes son $29, 37, 43, 71, 103, 109, 113, 131\ldots$ ; aún menos ( $18$ en este rango) tienen más de $1$ con $653$ llevándose la magdalena de oro (hasta ahora) con $4$ raíces reacias - $84, 120, 287, 410$ .

Pregunta principal: ¿cuál es el primo más pequeño que tiene $2$ como raíz reticente, ¿o no existe tal primo?

Otras preguntas: ¿por qué son tan raras las raíces reticentes? y ¿hay más trabajos de investigación sobre ellas (quizá con un nombre menos Harry-Potteresco)?

Answer 1

Si $g$ es una raíz primitiva módulo $p$ (o incluso si no lo es), entonces $g^{p-1}\equiv1+kp\bmod{p^2}$ para algunos $k$ , $0\le k\le p-1$ . Como señala Oscar Lanzi en los comentarios, $g$ es "reticente" si y sólo si $k=0$ por lo que (en cierto sentido) sólo hay un 1 en $p$ posibilidad de que $g$ es reacio. Eso, creo, explicaría por qué son raros.

Answer 2

Una palabra a buscar es Wieferich primos en base $a$ - para lo cual $a^{p-1} = 1 (p^2)$ y están relacionados (de forma bastante obvia) con periodos de expansiones "decimales" en diferentes bases; son realmente raros. Por ejemplo, los primeros (y únicos en el rango $\leq 10^{12}$ ) ejemplos para los que $2^{p-1} = 1 (p^2)$ son 1093 y 3511. Así que sus raíces renuentes son algo así como $a$ para los primos Wieferich generalizados. Más interés científico tienen estos números porque si $p$ es Wieferich en $a$ entonces $\Bbb Z[a^{\frac 1 p}]$ no es anillo completo de enteros de $\Bbb Q(a^{\frac 1 p})$ ; las raíces reticentes deben relacionarse con la ramificación de extensiones análogas.

En razón de la rareza: Dilcher y Pomerance demostraron a mediados de los 90 que $(2^{p-1} - 1)/p$ se distribuye uniformemente mod $p$ y los métodos sugieren que debería ser casi uniforme cuando se sustituye $2$ por otra cosa. Así que cuando tienes una "función", digamos $W$ definida en primos con valores uniformemente distribuidos en $\{0, \dots, p-1\}$ y nada en compuestos, tendrá aproximadamente $\ \log \log N$ ceros a largo plazo (por el teorema de la distribución de primos). Y el logaritmo doble es una función de crecimiento muy lento. Incluso si se cuentan los primos para los que $W(p)$ sólo divide $p-1$ no tendrás mucho, porque la función divisor no es tan grande.

Yo diría que este negocio en general no es muy popular (porque aquí es bastante difícil demostrar algo).

Answer 3

Para primos Impares $p$ y enteros naturales $a\neq 0,1$ los "cocientes de Fermat" $q_a(p):=\frac {a^{p-1}-1}{p}$ mod $p$ han sido objeto de gran atención por parte de Georges Gras y sus colaboradores (véase ref. infra). Permítanme esbozar sus resultados en dos direcciones :

1) Con respecto a la "rareza" el "Harry Potteresque" raíces reacias mod $p$ : Para fijo $a\ge 2$ se sugiere en [G] que la probabilidad de nulidad mod. $p$ de la $q_p(a)$ es inferior a $\frac {1}{p}$ para cualquier primo grande arbitrario $p$ . Para justificarlo, el autor propone varias heurísticas, apoyadas en cálculos numéricos y resultados analíticos, que pueden implicar la finitud del número de los $q_p(a)$ que son $0$ mod $p$ y la existencia de números enteros $a$ tal que $q_p(a) \neq 0$ mod $p$ . Demuestra que la densidad de enteros A tal que $q_p(A)\neq 0$ mod $p$ se trata de $O(\frac {1}{log (x)})$ para todos $p \le x$ .

2) En relación con los trabajos de Vandiver y Furtwängler, [GQ] sienta las bases de un nuevo enfoque ciclotómico global de la FLT. Un resultado significativo es el siguiente : Sea $p>3$ . Si existe un primo $l\neq p$ s.t. $q_p (l)\neq 0$ mod $p$ y s.t. para cualquier ideal primo $\mathcal L$ sobre $l$ en $\mathbf Q(\mu _{l-1})$ se tiene la relación $\mathcal L^{1-c}=(\alpha)\mathcal A^p$ donde $c$ denota conjugación compleja, $\mathcal A$ es un ideal en $\mathbf Q(\mu _{l-1})$ y $\alpha \in \mathbf Q(\mu _{l-1})$ con $\alpha\equiv 1$ mod $p^2$ entonces se cumple el primer caso de FLT; el segundo caso se cumple para $p$ tan pronto como existan infinitamente muchos de tales primos $l$ .

[G] G. Gras, "Estudio probabilístico de la $p$ -quotients de Fermat", Functiones et Approximatio, Vol. 54.1 (2016), 1-26

[GQ] G. Gras, R. Quême, "Vandiver papers on cyclotomy revisited and FLT", Publ. Math. Besançon, Vol.2 (2012), 47-111