¿Cuál es la función de límite de la serie de $\sum_{n=1}^{\infty} \left(e^{-n^2}-e^{-(n+x)^2}\right)$?

Question

Considerar la serie

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-n^2}-e^{-(n+x)^2}\right).$$

Según algunos teoremas en mi investigación, he encontrado que es convergente en $\mathbb{R}$, pero no puedo encontrar el límite de la función de la exactamente. Alguien me puede ayudar a conseguir esto? muchas gracias.

Answer 1

Esta no es una solución completa, sino una colección de interesantes resultados parciales.

Deje que la suma en cuestión

$$f(x) = \sum _{n=1}^{\infty } \left(\exp \left(-n^2\right)-\exp \left(-(n+x)^2\right)\right)\tag{1}$$

1) Simetría:

Definir

$$g(x) = f\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\tag{2}$$

a continuación, $g(x)$ es antisymmtric:

$$g(-x) = - g(x)\tag{3}$$.

Por lo tanto de la siguiente manera

$$f(-x) = - 1 - f(x-1)\tag{4}$$

2) valores Asintóticos

$$a = f(x\to +\infty) = \sum _{n=1}^{\infty } \exp \left(-n^2\right) = \frac{1}{2} \left(\vartheta _3\left(0,\frac{1}{e}\right)-1\right) \simeq 0.386319\tag{5}$$

donde $\vartheta _3$ es un Jacobi theta función.

Y, con (4),

$$f(x\to -\infty) = -1 - a \simeq -1.386319$$

3) los valores Enteros de a $x$

llevar a finito de sumas de dinero debido a las cancelaciones

$$f(0) = 0$$ $$f(1) = \exp \left(-1^2\right)+\exp \left(-2^2\right) +\exp \left(-3^2\right)+ ...\\ - \exp \left(-(1+1)^2\right)-\exp \left(-(1+2)^2\right) - ... = \exp \left(-1^2\right)$$ $$f(2) = \exp \left(-1^2\right)+\exp \left(-2^2\right) +\exp \left(-3^2\right) +...\\ - \exp \left(-(2+1)^2\right)-\exp \left(-(2+2)^2\right) - ... = \exp \left(-1^2\right)+\exp \left(-2^2\right)$$ $$...$$ y, en general,

$$f(k) = \sum_{n=1}^k \exp \left(-n^2\right), k = 1, 2, ...\tag{6a}$$

y por (4)

$$f(-k)= -1-f(k-1)= -1 -\sum_{n=1}^{k-1} \exp \left(-n^2\right), k = 1, 2, ...\tag{6b}$$