El lema de Morse mediante el truco de Moser

Question

En la obra de Abraham y Marsden Fundamentos de la mecánica demuestran el lema de Morse mediante el truco de Moser. Son capaces de reducir la prueba de manera que basta con encontrar una familia suave de campos vectoriales $Z_t$ tal que $$\iota_{Z_t}\omega_t+(f-g)=0, \quad Z_t(0)=0,$$ donde $f$ es la función considerada en el enunciado del lema de Morse, $g(x)=\frac{1}{2}D^2f(0)(x,x)$ y $\omega_t=tdf+(1-t)dg$ .

Ahora, el libro dice que es "fácil ver que $Z_t$ existe cerca de $0$ por la hipótesis de la no degeneración", que supongo que se refiere a la no degeneración de la hessiana $D^2f(0)$ .

Sin embargo, no veo que sea fácil verlo. Por ejemplo, $\omega_t(0)$ es $0$ Así que $Z_t(0)$ podría ser lo que quisiéramos y no veo la manera de conciliarlo fácilmente*. Además, $\omega_t$ es un $1$ -y queremos un $Z_t$ tal que $\omega_t(Z_t)$ es algún número. Esto da mucha redundancia para $Z_t$ .

Mi pregunta es: Cómo se construye este tipo de $Z_t$ ?

*Esto es muy diferente del uso del truco de Moser en las situaciones simplécticas (teorema de Darboux, por ejemplo), donde $\omega_t$ cuando es constante en una región de interés (como el origen en este caso), suele ser no degenerada (sin mencionar que es una $2$ -forma, que es relevante para lo siguiente que voy a decir)

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Para los que no estén familiarizados, el lema de Morse es el siguiente.

Dejemos que $f:M \to \mathbb{R}$ sea tal que $\mathrm{Hess}_p$ es no degenerado y $f(p)=0$ . Entonces existe un gráfico $\phi$ alrededor de $p$ tal que en coordenadas locales $$f(x)=D^2f(0)(x,x).$$

Answer 1

Desde $df(0) = 0$ dado un vector $v$ podemos escribir $$ df(x)(v) = \big<G(x)v,x\big>, $$ donde $$ G(x) = \int_0^1 \mathrm{Hess}\;f(sx)\;ds. $$ De hecho, $$ df(x)(v) = \int_0^1 \frac{d}{ds}df(sx)(v)\;ds = \int_0^1 D^2f(sx)(v,x)\;ds = \big<\big(\int_0^1\mathrm{Hess}\;f(sx)\;ds\big)v,x\big>. $$ Así, la ecuación $$ i_{Z_t}\omega_t = g - f $$ se convierte en $$ \big<(tG(x) + (1 - t)H)Z_t(x),x\big> = \big<((1/2)H - G(x))x,x\big> $$ donde $H = \mathrm{Hess}\;f(0)$ . Por lo tanto, basta con encontrar $Z_t$ tal que $$ (tG(x) + (1 - t)H)Z_t(x) = ((1/2)H - G(x))x. $$ Desde $G(0) = H$ el operador $(tG(x) + (1 - t)H)$ es invertible para $x$ cerca de $0$ . Definir $$ Z_t(x) = (tG(x) + (1 - t)H)^{-1}((1/2)H - G(x))x $$ en un barrio de $0$ .