Anillo de Invariantes de $A_3$

Question

Es bueno saber que el anillo de invariantes de la permutación grupo de tres elemetns $S_3$ está dado por la primaria simétrica polinomios, es decir,$$\mathbb C[x,y,z]^{S_3} = \mathbb C[s_1,s_2,s_3]$$ where $$s_1 = x+y+z$$ $$s_2=xy + yz + zx$$ $$s_3= xyz.$$

Que es el anillo de invariantes de $A_3$, la alternancia subroup de $S_3$, el hecho de que incluso las permutaciones?

Por supuesto que contenga $s_1, s_2, s_3$. También contiene $$d=(x-y)(y-z)(z-x).$$ They are not algebrically independent because $d^2 \in \mathbb C[s_1,s_2,s_3]$.

¿Cómo podemos demostrar que estas $4$ polinomios de generar todo el anillo de invariantes? Que es una base de algebrically generadores independientes, si alguna?

Answer 1

Desde $A_n$ es normal en $S_n$, el grupo de $S_n$ setwise estabiliza el anillo de $R=\mathbf{C}[x_1,\dots,x_n]^{A_n}$ $A_n$- invariantes. Escrito $S=\mathbf{C}[x_1,\dots,x_n]^{S_n}$ para el anillo de polinomios simétricos, pretendemos que $R=S+S\delta$ donde $\delta=\prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_i-x_j)$ es el determinante de Vandermonde.

Desde $S_n$ actúa a través de su cociente $S_n / A_n$$R$, hay dos isotipos de $S_n$-representaciones que se producen en $R$: el trivial de la representación y el signo de la representación. De ello se desprende que para $f \in R$ hemos $$f=\mathrm{sym}(f)+\mathrm{alt}(f)$$ where we write "sym" and "alt" for the symmetrization and anti-symmetrization of $f$. Since every alternating polynomial is divisible by $\delta$, con un cociente de un polinomio simétrico, esto demuestra nuestro reclamo.

Ahora el anillo de $S$ de los polinomios simétricos se genera por la primaria simétrica polinomios $e_1,\dots,e_n$ (ver, por ejemplo, el Capítulo 1 de Macdonald libro Simétrica funciones y Sala de polinomios), por lo que se deduce que el $R$ es generado por el Vandermonde $\delta$ y el de primaria simétrica polinomios.

Por último, vamos a $\mathfrak{m}$ a ser el ideal de $R$ generado por $e_1,\dots,e_n$$\delta$. A continuación, $\mathfrak{m}$ es un ideal maximal (ya que el cociente por es $\mathbf{C}$), pero los elementos se $e_1,\dots,e_n$ $\delta$ son linealmente independientes modulo $\mathfrak{m}^2$. De ello se desprende que $R$ es singular en $\mathfrak{m}$, y por lo tanto no es un polinomio de anillo. Por lo tanto no puede ser generado por algebraicamente independiente de polinomios.