Encontrar el límite $\lim_{n \to \infty} \frac {2n^2+10n+5}{n^2}$ y probarlo.

Question

Encuentre $\lim_{n \to \infty} \frac {2n^2+10n+5}{n^2}$ .

Afirmo que $\lim_{n \to \infty} \frac {2n^2+10n+5}{n^2}=2$ . Para demostrarlo, para un determinado $\varepsilon >0$ Tengo que encontrar $M\in N$ tal que $|\frac {2n^2+10n+5}{n^2}-2|<\varepsilon$ para $n \ge M$ .

Por la propiedad de Arquímedes, podemos encontrar $M \in N$ tal que $\frac {15}M<\varepsilon$ y observe que $n\ge M \rightarrow \frac 1n \le \frac 1M \rightarrow \frac {15}n \le \frac {15}M$ .

Entonces, para $n \ge M$ tenemos que $|\frac {2n^2+10n+5}{n^2}-2|=|\frac {10n+5}{n^2}| < |\frac {15n}{n^2}|$ (ya que $n \ge M \in N$ ) $<\frac {15}n\le \frac {15}M<\varepsilon$ .

Por lo tanto, por definición de convergencia, $\lim_{n \to \infty} \frac {2n^2+10n+5}{n^2}=2$ .

¿Debo decir $M\in Z^+$ (porque me preocupa el caso de que $M=0$ )? ¿Puedes encontrar algún error en esta prueba?

Gracias de antemano.

Answer 1

Su prueba está bien, para simplificar tenga en cuenta que

$$\frac {2n^2+10n+5}{n^2}=2+\frac{10}{n}+\frac5{n^2}$$

entonces basta con demostrar que $\frac1n \to 0$ .

Answer 2

Su prueba es correcta, bien hecha.

Algunos autores no incluyen $0$ en $\mathbb{N}$ , pero según su pregunta parece $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ para ti.

Supongo que la definición de convergencia de una secuencia $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ a $l\in\mathbb{R}$ que tienes es esto:

$$\forall\varepsilon>0,\exists M\in\mathbb{N},\forall n\ge M,|u_n-l|<\varepsilon.$$

Dejemos que $\varepsilon>0$ y $M\in\mathbb{N}$ (que existe) tal que $$\forall n\ge M,|u_n-l|<\varepsilon.$$

Fíjate que, en particular, $$\forall n\ge M+1,|u_n-l|<\varepsilon$$ porque $M+1>M$ . Así que puede reemplazar $M$ por $M+1$ o cualquier número entero mayor. Por lo tanto, siempre se puede elegir $M$ para ser positivo. Así que puedes tener esto como definición:

$$\forall\varepsilon>0,\exists M\in\mathbb{Z}^+,\forall n\ge M,|u_n-l|<\varepsilon.$$

Answer 3

Otra posibilidad: aplicar dos veces Cesàro-Stolz . $$ \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2 + 10n + 5}{n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{((2(n+1)^2 + 10(n+1) + 5) - (2n^2 + 10n + 5)}{(n+1)^2 - n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{4n + 12}{2n + 1} = \lim_{n\to\infty}\frac{(4(n+1) + 12) -(4n + 12)}{(2(n+1) + 1) - (2n + 1)} = \lim_{n\to\infty}\frac42 = 2. $$