Encontrar el límite de: $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n+1]{(n+1)!} - \sqrt[n]{(n)!}}$

Question

Podría ser el siguiente límite calculada sin el uso de Stirling de la aproximación de la fórmula?

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n+1]{(n+1)!} - \sqrt[n]{(n)!}}$$

Sé que el límite es de $e$, pero estoy buscando algunas formas alternativas que no requieren resort
para el uso de la aproximación de Stirling. Realmente agradezco cualquier apoyo a este límite. Gracias.

Answer 1

El Stolz–Cesàro teorema implica que si el límite existe, entonces es igual a $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}$. Algunas de las maneras de evaluar el último límite, incluyendo un método que utiliza el Stolz–Cesàro teorema de nuevo, se incluyen en la respuesta a la cuestión de Encontrar el límite de $\frac {n}{\sqrt[n]{n!}}$.

Esto deja a la existencia del límite original para ser probado.

Answer 2

Esto completa Jonas la respuesta, aquí está una idea. Este es demasiado largo para un comentario.

Para demostrar que el límite existe, podemos demostrar que $a_n$ es decreciente y positiva:

$$\frac{1}{\sqrt[n+1]{(n+1)!} - \sqrt[n]{(n)!}} \geq 0 \Leftrightarrow $$

$$\sqrt[n+1]{(n+1)!} \geq \sqrt[n]{(n)!} \Leftrightarrow $$

$$(n+1)!^n\geq (n)!^{n+1} \Leftrightarrow $$ $$(n+1)^n\geq (n)! \Leftrightarrow $$ $$(n+1)\cdot(n+1)...\cdot(n+1)\geq 1\cdot 2..\cot n \checkmark $$

Ahora para la disminución de la

$$\frac{1}{\sqrt[n+1]{(n+1)!} - \sqrt[n]{(n)!}} \geq \frac{1}{\sqrt[n+2]{(n+2)!} - \sqrt[n+1]{(n+1)!}} \Leftrightarrow $$

$$\sqrt[n+1]{(n+1)!} - \sqrt[n]{(n)!} \leq \sqrt[n+2]{(n+2)!} - \sqrt[n+1]{(n+1)!} \Leftrightarrow $$

$$2\sqrt[n+1]{(n+1)!} \leq \sqrt[n]{(n)!}+ \sqrt[n+2]{(n+2)!}$$

Ahora, por AM-GM de la desigualdad

$$\frac{\sqrt[n]{(n)!}+ \sqrt[n+2]{(n+2)!}}{2} \geq (n!)^\frac{1}{2n}[(n+2)!]^\frac{1}{2n+1}$$

Así que si podemos demostrar que

$$(n!)^\frac{1}{2n}[(n+2)!]^\frac{1}{2n+4} \geq \sqrt[n+1]{(n+1)!}$$

hemos terminado.

Ahora

$$(n!)^\frac{1}{2n}[(n+2)!]^\frac{1}{2n+4} \geq \sqrt[n+1]{(n+1)!} \Leftrightarrow $$ $$(n!)^\frac{1}{2n}[(n+2)]^\frac{1}{2n+4} \geq (n+1)!^{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+4}} \Leftrightarrow $$

$$(n!)^{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+4}-\frac{1}{n+1}}[(n+2)]^\frac{1}{2n+4} \geq (n+1)^{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+4}}\,. $$

Para mantenerlo simple:

El poder de la $n!$ es

$$\frac{(2n^2+6n+4)+(2n^2+2n)-(4n^2+8n)}{(n+1)2n(2n+4)}=\frac{2}{n(n+1)(2n+4)}$$

El poder de la $n+1$ es

$$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+4}=\frac{n+3}{(n+1)(2n+4)}$$

Por lo tanto, después de traer a la desigualdad a la $n(n+1)(2n+4)$ se convierte en:

$$(n!)^\frac{1}{2n}[(n+2)!]^\frac{1}{2n+4} \geq \sqrt[n+1]{(n+1)!} \Leftrightarrow $$ $$(n!)^2(n+2)^{n(n+1)} \geq (n+1)^{n(n+3)} $$

Ahora, yo ma no estoy seguro de que esto es cierto, pero podría funcionar....