Medida de Lebesgue - conjuntos de medidas positivas que no contienen intervalos

Question

Me he encontrado con dos afirmaciones sobre la medida de Lebesgue que no se contradicen exactamente, pero que me parecen poco intuitivas cuando se consideran una respecto a la otra. Las afirmaciones son:

1. Para cada intervalo $[a,b]$ existe un conjunto $K\subset[a,b]$ que sea compacto, totalmente desconectado y con medida positiva (es decir, que no contenga un intervalo).
2. Dejemos que $A\subset\mathbb{R}$ sea un conjunto medible, y $0\leq\alpha<1$ tal que para cada intervalo $I\subset\mathbb{R}$ sostiene que $m(A\cap I)\leq\alpha m(I)$ entonces $m(A)=0$

La segunda afirmación parece implicar que cualquier conjunto de medida positiva debe contener un intervalo hasta un conjunto de medida arbitraria $\epsilon>0$ (puesto que un $\alpha$ no se puede encontrar para un conjunto de medidas positivas).

Por otro lado la primera afirmación dice que para cualquier intervalo puedo encontrar un subconjunto de cualquier medida positiva "no completa" deseada. Me doy cuenta de que estas afirmaciones no se contradicen, pero parecen un poco "contradictorias por naturaleza". Intuitivamente esperaría que la primera afirmación me permitiera de alguna manera construir un conjunto de medidas positivas con la propiedad deseada en la segunda afirmación.

Realmente no tengo una pregunta aquí, pero esperaba que tal vez alguien pueda arrojar su propia perspectiva sobre cómo ven estas dos propiedades de la medida de Lebesgue coexistiendo. Tal vez pueda darme alguna intuición más.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Para 1: Hay un conjunto abierto $U$ que contiene todos los racionales tales que $m(U)< (b-a).$ Así, $m([a,b]\setminus U) > 0.$ El conjunto $[a,b]\setminus U$ es compacto, es un subconjunto de $[a,b],$ y como no contiene racionales, no tiene interior.

Answer 2

Mi reacción es simplemente rastrear algunos ejemplos. El conjunto $K$ en parte $1$ es algo así como un conjunto de Cantor -sólo que engordado para mantener una medida positiva, digamos para concretar $1/2$ . Ya que estamos simplificando, también podemos tomar $[a,b]=[0,1]$ también. $K$ no tiene por qué estar uniformemente distribuida -de hecho, el punto de su parte 2 es que no puede serlo-, así que podemos suponer que podemos eliminar algún intervalo y aumentar la medida proporcional de $K$ . En la construcción más habitual, podríamos tener $m(K\cap [0,3/8])=1/2$ . Entonces, si $K$ es autosimétrico, como ciertamente puede ser, obtenemos inmediatamente proporciones arbitrariamente grandes de $K$ en intervalos suficientemente pequeños.

Todo esto contrasta con el caso del conjunto Cantor habitual $C$ Una forma de probar $m(C)=0$ es observar que para cada intervalo $I$ , $C$ está contenida en un subconjunto de $I$ de medida relativa no más que $2/3$ . Para la construcción de $C$ es uniforme : en cada etapa eliminamos los intervalos de medida relativa $2/3$ . Por el contrario, esto demuestra de nuevo por qué no construimos $K$ mediante la eliminación uniforme incluso de intervalos muy pequeños.