¿Cuáles son algunas pruebas falsas para afirmaciones verdaderas o falsas en las que el error de la prueba no es evidente?

Question

Busco ejemplos de errores sutiles de razonamiento en una demostración matemática. Un ejemplo de una prueba "falsa" sería

Dejemos que $a=b>0$ . Entonces $a^2 - b^2 = ab - b^2$ . Factorizando, tenemos $(a-b)(a+b) = b(a-b)$ que después de la cancelación da como resultado $b = a = 2b$ y por lo tanto $1=2$ .

Sin embargo, el truco de la división por cero está trillado una vez que se ha visto lo suficiente. ¿Hay alguna otra prueba "cercana" (puede ser de cualquier cosa) cuyo error de razonamiento sea más difícil de detectar?

Edit: Esta pregunta fue puesta en espera por ser demasiado basada en la opinión, así que me gustaría tratar de aclarar. Estoy buscando pruebas falsas de afirmaciones verdaderas o falsas con errores lógicos sutiles, que para mí consistiría en todo excepto errores básicos de álgebra (dividir por cero, $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ para los negativos $a,b$ etc.) y errores lógicos básicos ( $(p\Rightarrow q) \implies (q \Rightarrow p)$ ).

Answer 1

Esta es una prueba lógica.

Teorema: Una afirmación o su inversa deben ser verdaderas.

Prueba: Considere la proposición $$(P\to Q)\vee (Q\to P)$$ y comprobar que es una tautología, digamos que usando tablas de verdad. La cuestión es que si $P$ es falso, entonces $P\to Q$ es verdadera, y de forma similar si $Q$ es falsa, entonces la segunda implicación es válida. Por último, si ambos son verdaderos, entonces ambas implicaciones son válidas. $\Box$

Por ejemplo, puede tomar $P$ para ser eso $x$ es un número primo, y $Q$ para ser eso $x$ es impar. Entonces estamos afirmando o bien que $x$ es primo implica que es impar o que $x$ es impar implica que es primo. (¡Ninguna de las dos cosas es cierta!) ¿Qué ocurre?

La cuestión es que el teorema es técnicamente verdadero sin cuantificadores. Sin embargo, en el ejemplo que di, había cuantificadores y realmente debería haberse escrito $$\forall x[P(x)\to Q(x)]\vee \forall x[Q(x)\to P(x)],$$ que no es lo mismo que $$\forall x[(P(x)\to Q(x))\vee (Q(x)\to P(x))].$$ Este fue uno de los ejemplos más interesantes de este libro.

Answer 2

$\cos^2x=1-\sin^2x$

$\cos x = (1-\sin^2x)^{\frac{1}{2}}$

$1+\cos x = 1+(1-\sin^2x)^{\frac{1}{2}}.$

$When,x=180^0$

$1-1 = 1+(1-0)^{\frac{1}{2}}$ $as$$ , $$[$$ cos 180=-1 $ $ y $ $ sin 180=0 $$]$

$or,$$ 0=2$

Answer 3

Un error conceptual que se suele cometer-

$({\sqrt -1})$$ =-1^ \frac12$$=-1^\frac24$$ =(-1^2)^ \frac14$$=1^\frac14$$ =1 $

Answer 4

Hay esto falso tipo de inducción, donde el paso no funciona en todos los casos.

Teorema . Si hay un caballo blanco, todos los caballos son blancos.

Prueba . Inducción sobre el número $n$ de caballos existentes. Si sólo hay un caballo $(n=1)$ Y como hay un caballo blanco, es blanco. Ahora supongamos que hay $n>1$ caballos, $h_1, \ldots, h_n$ con - digamos - $h_1$ blanco. Mirando sólo a $h_1, \ldots, h_{n-1}$ por inducción, todos estos son blancos. Pero sepa, bajo $h_2, \ldots, h_n$ tenemos caballos blancos, y de nuevo, por inducción, todos son blancos.

Answer 5

La siguiente deducción no es correcta:

$i^2 = i*i = {\sqrt{-1}} * {\sqrt{-1}} = {\sqrt{(-1) * (-1)}} = {\sqrt{1}} = 1$