Cómo resolver $(1-\tan^2x)\sec^2x+2^{\tan^2x}=0$

Question

Estoy atascado el siguiente problema :

Resuelve el siguiente problema:

$(1-\tan^2x)\sec^2x+2^{\tan^2x}=0$

Tomando $p=\tan^2x,$ obtenemos $(1-p^2)+2^p=0$ . Ahora, no sé cómo ir desde aquí.

La simple observación dice $x=2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ ,satisface la ecuación y por tanto será la solución pero no sé cómo llegar a ella. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Si se observa la ecuación $$f(p)=2^p-p^2+1$$ hay tres soluciones, una de ellas es exactamente $p=3$ . Las otras son irracionales y sólo se pueden encontrar utilizando métodos numéricos como el de Newton. Estas raíces son $p=3.40745$ y $p=-1.19825$ . La raíz negativa se puede descartar ya que $p=\tan^2(x)$ .

A $p=3.40745$ corresponde $x=1.07432$ que es otra solución muy cercana a $x=\frac {\pi} {3}=1.04720$

Editar

Es interesante observar que, si desarrollamos la función como una serie de Taylor en $x=3$ obtenemos $$f(p)= (8\log (2)-6)(p-3)+ \left(4 \log ^2(2)-1\right)(p-3)^2+O\left((p-3)^3\right)$$ que se cancela en $$p=\frac{3+12 \log ^2(2)-8 \log (2)}{4 \log ^2(2)-1}\approx 3.49340$$ que está muy cerca de la segunda solución. Expandiendo para un orden más y resolviendo la cuadrática se obtendría una solución $\approx 3.41174$ .

También es interesante observar que las raíces de las primeras derivadas son explícitas en términos de la función de Lambert $$\left\{p= -\frac{W\left(-\frac{1}{2} \log ^2(2)\right)}{\log (2)}\right\},\left\{p= -\frac{W_{-1}\left(-\frac{1}{2} \log ^2(2)\right)}{\log (2)}\right\}$$ Desarrollando $f(p)$ como una serie de Taylor de segundo orden en la segunda (la mayor raíz) permite estimar las raíces en $3.00933$ y $3.41554$ .