¿Dónde se utiliza la condición de Hausdorff?

Question

Aquí https://en.m.wikipedia.org/wiki/Continuous_functions_on_a_compact_Hausdorff_space

Dice que el espacio $C(\Omega)$ es un espacio normado si $\Omega$ es un espacio hausdorff compacto. Pero, ¿por qué necesitamos la condición de Hausdorff? La compacidad hace que la norma sup de cada función sea finita. Y las demás propiedades de la norma parecen seguirse del mismo modo que si $\Omega=[0,1]$ ?

Además, ¿es el espacio $C(\Omega)$ ¿completa? Me pareció que lo estaba cuando imité la prueba para el caso especial $[0,1]$ . Sin embargo la wikipedia no menciona la completitud. ¿Y esta cuestión depende de la condición de Hausdorff?

Answer 1

No parece que se utilice para la construcción del espacio en sí, pero más abajo en la página hay resultados que parecen depender de que sea un espacio de Hausdorff, por ejemplo la consecuencia del lema de Uhrysohn.

De hecho, un espacio en el que esa consecuencia del lema de Uhrysohn es válida (es decir, que los puntos pueden estar separados por una función continua) tiene que ser un espacio de Hausdorff propiamente dicho. Elijamos dos puntos $x$ y $y$ entonces hay exsts a $f$ tal que $f(x)\ne f(y)$ lo que significa que se pueden formar barrios disjuntos de $f(x)$ y $f(y)$ cuyas imágenes inversas son vecindades disjuntas de $x$ y $y$ .

El espacio es completo ya que si se tiene una secuencia cauchy $f_n$ de tales funciones entonces es obviamente convergente puntualmente a una función $f$ . Es bastante obvio que también será uniformemente convergente a ella y que $f$ es continua (ya que $|f_j-f_k|<\epsilon$ para que sea lo suficientemente grande $j$ y $k$ tenemos que $|f-f_j|<\epsilon$ así como de la continuidad de $f_j$ podemos estimar $f$ para que también sea continua).

Answer 2

Como se indica en las otras respuestas, la condición de Hausdorff no es necesaria, al menos para la definición y las propiedades más básicas de $C(\Omega)$ . De hecho, la condición compacta tampoco es necesaria siempre que se cambie la definición para que sólo incluya acotado funciones continuas (a menudo escritas $C_b(\Omega)$ con "b" por "acotado"). Para cualquier espacio $\Omega$ la norma sup hace que $C_b(\Omega)$ un espacio normado completo, y de hecho la multiplicación puntual de las funciones hace además $C_b(\Omega)$ a Álgebra de Banach . Una de las principales razones por las que el artículo se centra en los espacios compactos de Hausdorff es que para cualquier espacio $\Omega$ existe un espacio Hausdorff compacto esencialmente único $\beta\Omega$ tal que $C_b(\Omega)$ es isomorfo a $C(\beta\Omega)$ como un álgebra de Banach (y este isomorfismo se implementa componiendo con un mapa continuo canónico $\Omega\to \beta\Omega$ ). Este espacio compacto de Hausdorff $K$ se llama Compactación de la piedra-Cech de $\Omega$ . Así que aunque esté interesado en $C_b(\Omega)$ para espacios arbitrarios $\Omega$ A menudo, se puede salir con la suya pensando sólo en el caso cuando $\Omega$ es compacto y de Hausdorff (al menos, suponiendo que sea capaz de entender el mapa canónico $\Omega\to \beta\Omega$ para los espacios $\Omega$ que te interesa, lo que no siempre es tan fácil...).

Answer 3

Estoy de acuerdo en que la prueba de integridad de $C([0,1])$ se aplica sin modificaciones a $C(\Omega)$ si $\Omega$ es cualquier espacio topológico compacto.

En realidad, si $\Omega$ es cualquier espacio topológico, compacto o no, el espacio de las funciones continuas y acotadas definidas en $\Omega$ y que toma valores en un espacio de Banach es completa. La prueba sigue siendo exactamente la misma.

Creo que la mayoría de los teoremas enumerados en la página de Wikipedia utilizan la condición de Hausdorff (quizás a través del lema de Uryshon, como señala skyking). Esto es trivial para el teorema de Stone-Weierstrass: si algunos puntos de $\Omega$ no pueden estar separados por conjuntos abiertos, cualquier función continua debe ser constante en ellos. Por tanto, no hay ningún subconjunto de $C(\Omega)$ que separa puntos, y por tanto el teorema de Stone-Weierstrass es vacío.

Sin embargo, sospecho que el teorema de Ascoli-Arzela se mantiene incluso sin la propiedad Hausdorff de $\Omega$ .