Una pregunta con respecto a monoidal categorías cerradas

Question

Si una categoría $\mathcal{C}$ (simétrica) monoidal cerrado, es el opuesto de la categoría $\mathcal{C}^{\text{op}}$ también monoidal cerrado?

Es que no me queda claro si por dualising natural bijection $$\mathcal{C}(a\otimes b,c)\cong\mathcal{C}(a,[b,c])$$ we get a monoidal closed structure on $\mathcal{C}^{\text{op}}$.

Answer 1

A partir de la definición de la contigüidad de ello se sigue que $F ⊣ G$ fib $G^{\mathrm{op}} ⊣ F^{\mathrm{op}}$. Para un monoidal categoría monoidal cerrado es suficiente que todos los $- ⊗ B$ ser adjunto a la izquierda. El doble de esto es que $- ⊗ B$ es derecho adjuntos. Así que no, el doble de un monoidal cerrado categoría en sí no es cerrado (en cambio es "coclosed", aunque este no es un término a menudo se utiliza).

De hecho, el doble de un Cartesiana cerrada categoría no se cierra nunca, a menos que la categoría es el singleton: ver aquí para una breve prueba.