¿Cómo puedo demostrar que Número de Fermat $F_{5}=2^{2^5}+1$ es divisible por $641$ .
¡Muchas gracias! Esto es muy fácil de entender.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Si conoce al menos algunos datos básicos sobre congruencias no es difícil hacerlo a mano, por ejemplo, de la siguiente manera:
$\newcommand{\kong}[3]{{#1}\equiv{#2}\pmod{#3}}$ $\kong{2^8}{256}{641}$
$2^{16} \equiv 256^2= 64\cdot4\cdot256 =1024\cdot64=102\cdot640+256 \equiv \kong{256-102}{154}{641}$
$2^{32} \equiv 154^2 = 14^2\cdot11^2 = 196\cdot121 = (3\cdot64+4)(2\cdot64-7)= 6\cdot64^2+8\cdot64-21\cdot64-28=(384+8-21)\cdot64-28 = 371\cdot64-28 = 37\cdot640+64-28\equiv \kong{-37+36}{-1}{641}$
La última línea significa que $641\mid F_5=2^{32}+1$ .
Acabamos de utilizar $\kong{640}{-1}{641}$ unas cuantas veces.
Hardy y Wright dan en su libro un argumento diferente, véase p.18 .
Si observamos que $$641=5^4+2^4=5\cdot 2^7+1$$ entonces tenemos que $$641\mid 5^4\cdot2^{28}+2^{32}$$ (multiplicamos la primera expresión por $2^{28}$ ) y también tenemos $$641\mid 5^4\cdot2^{28}-1$$ si utilizamos $x+1\mid x^4-1$ para $x=5\cdot2^7$ .
Si restamos los números anteriores, obtenemos $$641\mid 2^{32}+1=F_5$$
Atribuyen esta prueba a Coxeter, véase p.27 .
Después de conseguir que $64.4$ significa $64\cdot 4$ Estoy de acuerdo: +1 ¡Buena respuesta!
"Si nos damos cuenta de que...". No me imagino a mucha gente dándose cuenta de esas cosas. ¡Brillante! (+1).
David HAust
Puntos
2696
$\!\!\bmod\, 641\!:\,\ {-}1\, \equiv\:\, 5\,\cdot\, 2^{\large 7},\,$ así que por Reglas de potencia y producto
$\rm above^{\large 4}\, \Longrightarrow\ 1^{\phantom{|^{|^|}}}\!\! \equiv \underbrace{\color{#c00}{5^{\large 4}}\!}_{\Large\!\!\!\!\! \color{#c00}{\equiv\,-2^{\Large 4}}}\:\! 2^{\large 28}\equiv\, -2^{\large 32}\ \ \ \ {\small\bf QED}$
Muy bonito. Para complementar esta respuesta inteligente, aquí está la respuesta no inteligente. $2^{32}$ tiene, en notación decimal, sólo 10 dígitos. Puedes multiplicarlo a mano (si sabes que $2^{16}=65536$ ); suma uno; divide por 641. (Sé que esto es menos divertido que hacer matemáticas, pero no es peor que calcular mis impuestos).
Esta solución es la misma que la de Martin Sleziak $2$ nd (segunda) solución, excepto que utiliza una notación diferente. Después de mirar en su historial de edición, su solución se publicó sobre $2$ semanas antes que el tuyo.
@user236182 Tendremos que discrepar en lo de "lo mismo". En cualquier caso, he publicado esto en numerosos sitios a lo largo de los años, remontándome a los antiguos días de sci.math. Es mi versión condensada de una prueba clásica bien conocida que aparece en diversas formas en algunos libros de texto elementales de teoría de números.
