Como es bien sabido, una métrica induce una topología, por lo tanto un espacio métrico es siempre un espacio topológico. Sin embargo, la inversa no es cierto, usted puede tener espacios topológicos que no corresponden a una métrica (que es, usted no puede encontrar una métrica que induce a que la topología).
Ahora, tanto la topología y métricas tienen un cierto concepto de "proximidad". En espacios topológicos es el concepto de barrio, pero que es relativamente un concepto flexible (como todos los conceptos topológicos son, por diseño). En particular, en la topología no tiene sentido decir cómo cerrar un cierto punto a otro. Por otro lado, la métrica tiene el concepto de distancia (después de todo, eso es lo métrica espacios son sobre todo), que es la más rígido concepto de "proximidad" usted puede pensar: Cada par de puntos obtiene un número que nos indica exactamente cómo de cerca o de lejos que son el uno al otro.
Ahora la pregunta cruzó por mi mente si hay algo entre los dos. Decir, un espacio de $C$ sobre la base de la relación "$a$ está más cerca de a$b$$c$"; permite escribir ese $b <_a c$. Claramente, una métrica corrige esa relación, por $b <_a c\iff d(a,b) < d(a,c)$. También, que la relación de las correcciones de una topología, mediante la definición de una bola abierta con centro de $c$ y el punto de la frontera $b$ $B_b(c) = \{x\in C: (x <_c b)\}$ y, a continuación, proceder de la manera habitual. Claramente para un espacio métrico, este es el abrir la bola alrededor de $c$ radio $d(b,c)$.
Tenga en cuenta que esto le da automáticamente un T1 espacio, como para cualquiera de los puntos $b,c\in C$, $b\notin B_b(c)$ y $c\notin B_c(b)$.
Creo que una definición razonable de un espacio de este tipo sería:
Un conjunto $C$, con una relación ternaria $(b <_a c)$ es una "cercanía espacio" si los siguientes axiomas se cumplen:
- Fijo $a\in C$, la relación $x <_a y$ es un estricto débil de la orden.
- Para cualquier $b\ne a$, $a <_a b$ (una está más cerca de sí mismo que cualquier otro punto).
Sin embargo, esto realmente no dan nada nuevo? Es decir, ¿hay algún "la cercanía de los espacios" que no se puede dar una métrica?
Suponiendo que la respuesta a esa pregunta es "sí", ¿hay alguna T1 espacios que no pueden ser obtenidos a partir de una "cercanía espacio"?
Edit: me misremembered la definición de Hausdorff; la condición que me dio no es Hausdorff, pero T1. Tengo la sospecha de una "cercanía" espacio también es Hausdorff, pero no estoy seguro todavía.
Edit 2: me acabo de dar cuenta que para una "cercanía espacio", deriva de un espacio métrico de la topología definida por la "comparación" espacio abierto bolas no es siempre la misma que la que deriva de la original de espacio métrico (la razón es que no puede ser métrica abrir las bolas que no son la cercanía abrir las bolas).
Por ejemplo, considere el $C=\{0\}\cup (1,2)$ con la habitual $d(x,y) = \left|x-y\right|$. A continuación, en la topología de derivados de la métrica, $\{0\}$ es un conjunto abierto, pero en la topología de la derivada de la correspondiente "cercanía espacio", no lo es. De hecho, la cercanía del espacio de deriva de que es la misma que la cercanía derivada del espacio de $[1,2)$ si la identificación de $0$$1$, y la topología se deriva de que "la cercanía del espacio" es la topología de la derivada de la distancia en $[1,2)$.
Por supuesto, en ese ejemplo, no existe todavía una métrica que tanto induce a la "cercanía" espacio y la misma topología inducida por la "cercanía del espacio", por lo que la cuestión de si existe una no deriven de una métrica está todavía abierto.
