Expansión formal de la forma diferencial en curvas elípticas

Question

En primer lugar todo lo que pregunto viene del principio del libro de Katz y Mazur : Arithmetic moduli of elliptic curves (que puedes encontrar aquí ). Estoy considerando una curva elíptica $f : E \to S$ donde $S$ es un esquema (es decir $E$ es un suave apropiado $S$ -esquema de grupos de dimensión relativa $1$ , con una sección elegida $0 : S \to E$ ).

Estoy tratando de entender qué hace KM en la página 68/69. Desde $E \to S$ se separa sabemos que $D := 0(S)$ es un subesquema cerrado, de hecho se demuestra en KM que $D$ es un divisor efectivo relativo de Cartier, es decir $D \to S$ es plana y $I(D)$ es una gavilla invertible. Escribimos $\omega_{E/S} = 0^*\Omega^1_{E/S} = f_* \Omega^1_{E/S}$ . Se trata de un haz de líneas por lo que Zariski localmente en $S$ es generado por una sección global $\omega$ .

Ahora dicen

1) Zariski localmente en $S$ la finalización formal de $E$ a lo largo de $0$ es decir $Spf(\varprojlim \mathcal{O}_E/I(D)^n)$ es isomorfo a $Spf(R[[T]])$ donde $S = Spec(R)$ .

Esto, a su vez, implica (dicen) que

2) Zariski localmente en $S$ , $\omega$ puede escribirse de la forma $f(T)dT$ donde $f(T) \in R[[T]]$ .

¿Cómo se demuestra ese primer hecho (entiendo que para las afines abiertas $U = Spec(A)$ que contiene $0(D)$ tenemos $A = R \oplus I(D)$ donde $I(D)$ es el ideal libre de rango $1$ correspondiente a $D$ y que al iterar esto obtenemos un morfismo $A \to R[[T]]$ pero no sé cómo pasar de ahí).

Para el segundo ni siquiera entiendo lo que quieren decir con la expansión formal de $\omega$ .

Answer 1

A continuación se explica cómo hacerlo para una curva elíptica sobre $\Bbb Q$ :

Comienza con $y^2=x^3+ax+b$ con el punto neutro $\Bbb O$ en el infinito. Así que se homogeneiza y luego se establece $y=1$ para conseguir $z=x^3+axz^2+bz^3$ . Me gusta pensar en esto como un esquema recursivo para expandir $z$ como una serie en $x$ pero se puede hacer de varias maneras, para conseguir $$ z = x^3 + ax^7 + bx^9 + 2a^2x^{11}+\cdots $$ A continuación, el diferencial: de $z=x^3+axz^2+bz^3$ , se obtiene $dz=3x^2dx+az^2dx + 2axz\,dz+3bz^2dz$ . Recoge el $dx$ y el $dz$ y dividirlo adecuadamente para obtener $$ \frac{dz}{3x^2+az^2}=\frac{dx}{1-2axz-3bz^2}\,. $$ Puedes convencerte de que esta diferencial no tiene ceros (ni polos, por supuesto): es la diferencial invariante a la que me refería en mi comentario. Ahora usa tu expansión de $z$ como una serie en $x$ , para conseguir $$ \omega=1 + 2ax^4 + 3bx^6 + 6a^2x^8 + 20abx^{10} + (15b^2 + 20a^3)x^{12}+\cdots $$ Observe que si toma $x$ tener peso $-1$ y $z$ peso $-3$ , todo monomio tiene aquí peso cero, como debe ser.

Finalmente, como soy quien soy, tengo que observar que si integras esta cosa formalmente, obtienes el logaritmo del grupo formal de tu curva elíptica.