Un geométrica de la integral de la desigualdad

Question

Supongamos que $f,g:[0,1] \to \mathbb{R}^{+}$ son lisas, de funciones, de tal manera que $$ 0< L_1 \le \int_0^1 f \, dx,0<L_2 \le \int_0^1 g \, dx$$

Estoy buscando una "prueba directa" que

$$ \sqrt{L_1^2+L_2^2} \le \int_0^1 \sqrt{f^2 + g^2 }\, dx.$$

Nota: Para los interesados, Esta desigualdad tiene un contenido geométrico, es decir, que el producto de minimizar geodesics (en un producto de Riemann colectores) se minimiza.

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Aquí no es una prueba directa:

Definir $F(t)=\int_0^t f(t)dt,G(t)=\int_0^t g(t)dt$, y la mirada en el camino de $\gamma:[0,1] \to \mathbb{R}^2$ definido por $$ \gamma(t)=(F(t),G(t))$$

A continuación,$\dot \gamma(t)=(f(t),g(t))$, y

$$\| \gamma(1)-\gamma(0)\|=\sqrt{(F(1)-F(0))^2+(G(1)-G(0))^2}$$

$$ = \sqrt{\big(\int_0^1 f\big)^2+\big(\int_0^1 g\big)^2} \le L(\gamma)= \int_0^1 \sqrt{f^2+g^2} \tag{1}$$

Donde la desigualdad se sigue de la geometría del hecho de que $\| \gamma(1)-\gamma(0)\| \le L(\gamma)$. (También hay una directa argumento de que aquí).

Por el artículo $(1)$, podemos deducir que

$$ \sqrt{L_1^2+L_2^2} \le \sqrt{\big(\int_0^1 f\big)^2+\big(\int_0^1 g\big)^2} \le \int_0^1 \sqrt{f^2 + g^2 }\, dx. $$

Answer 1

Esto es una consecuencia de la desigualdad de Minkowski para $p<1$, que dice que $$\left(\int_0^1|u|^p\right)^{1/p}+\left(\int_0^1|v|^p\right)^{1/p}\leq \left(\int_0^1|u+v|^p\right)^{1/p},$$ when $u$ and $v$ are nice enough and $p\en(0,1)$.

En su caso, aplicar la desigualdad anterior para $u=f^2$, $v=g^2$, y $p=1/2$.