Asociativa $\mathbb{C}$-álgebra con 3 generadores, $2 \times 2$ matrices de acción de los generadores en base a $x, y$.

Question

Deje $\text{U}$ ser asociativa $\mathbb{C}$-álgebra con tres generadores $E$, $H$, $F$, y tres definir las relaciones$$HE - EH = 2E,\text{ }HF - FH = -2F, \text{ }EF - FE = H.$$The formulas$$E(f) := x{{\partial f}\over{\partial y}},\text{ }H(f) := x{{\partial f}\over{\partial x}} - y{{\partial f}\over{\partial y}},\text{ }F(f) := y{{\partial f}\over{\partial x}}$$give the vector space $\mathbb{C}[x, y]$ the structure of an $\text{U}$-module. For each $m \ge 0$, the space $\mathbb{C}^m[x, y]$, of homogeneous polynomials of degree $m$, is a simple $\text{U}$-submodule of $\mathbb{C}[x, y]$.

Mi pregunta es, para$m=1$, ¿cuáles son las $2 \times 2$ matrices de la acción de los elementos $E$, $H$, $F$ en la base $x$, $y$? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que $U$ universal es la envolvente de álgebra de la Mentira álgebra $\mathfrak{sl}_2$. La acción es una forma de definir el (único) $m+1$-dimensional simple de los módulos a través de esta álgebra.

El cálculo, a pesar de las matrices en la forma general, es, por ejemplo, se detallan en estas notas (véase el Capítulo 7, y 7.3 para las matrices):

http://www-groups.mcs.st-and.ac.uk/~neunhoef/Docencia/liealg/liealgchap3.pdf

(similar cálculos también debe aparecer en la mayoría de los textos introductorios sobre álgebras de Lie, pero tal vez no en ese detalle).

En realidad, usted puede fácilmente calcular este sí mismos (especialmente en el caso de $m-1$), y un muy buen indicio que ya está dado en el comentario por David Hill, usted necesita entender:

1. ¿qué es la matriz de visualización de una transformación lineal con respecto a una determinada base (álgebra lineal)

2. Cómo diferenciar los polinomios (análisis fundamental)

3. ¿Qué es una acción?

3. tenga en cuenta que una acción es una de morfismos de álgebras de $$U\rightarrow \operatorname{End}(V),$$ where $V=\mathbb{C}^m[x,y]$ en este ejemplo.

Es ya se ha indicado en el comentario por David Hill lo que la acción de la $E$ en el caso de $m=1$ es. A partir de esto uno debe ser capaz de derivar una matriz fácilmente.