Deje $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de números reales. Un conocido resultado es:
La secuencia de $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $a\in \mathbb{R}$ si y sólo si cada subsequence $(x_{n_k})_{k\in \mathbb{N}}$ converge a $a\in \mathbb{R}$.
Ahora, estoy trabajando en un ejercicio que essentialy pide probar lo siguiente:
La secuencia de $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $a\in \mathbb{R}$ si y sólo si para cada subsequence $(x_{n_k})_{k\in \mathbb{N}}$ hay una (sub)subsequence $(x_{n_{k_j}})_{j\in \mathbb{N}}$ que converge a $a$.
Ahora, una dirección es trivial. Si, de hecho, $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $a$, luego por el resultado que he mencionado, cada subsequence de $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $a$. Vamos, a continuación, $(x_{n_k})_{k\in \mathbb{N}}$ ser arbitraria larga. En ese caso, sabemos que es una larga de por sí, y por lo tanto, hemos encontrado una (sub)subsequence que converge a $a$.
La otra manera alrededor parece bastante complicado para mí. La razón es la siguiente: debo suponer que cada subsequence $(x_{n_k})_{k\in \mathbb{N}}$ tiene un (sub)subsequence que converge a $a$ y la prueba de que el original converge a $a$.
Mi problema es exactamente ese "un". Si tuviera todas las (sub)subsecuencias convergentes a $a$, luego por el resultado que he mentionted, el subsequence $(x_{n_k})_{k\in \mathbb{N}}$ convergería a $a$. En ese caso, tendríamos cada subsequence convergentes a $a$ y el resultado se sigue.
Mi idea para demostrar que el reclamo era entonces:
Primero recordar que una larga es la restricción de la original $x: \mathbb{N}\to \mathbb{R}$ a un subconjunto infinito $\mathbb{N}'\subset \mathbb{N}$. En caso de que un (sub)larga es la restricción de $\tilde{x} = x|\mathbb{N}'$ a un subconjunto infinito $\mathbb{N}''\subset \mathbb{N}$. Pero desde $\tilde{x}$ es la restricción de $x$ $\mathbb{N}'$y desde $\mathbb{N}''\subset \mathbb{N}'$, la restricción de $\tilde{x}$ $\mathbb{N}''$es en sí mismo la restricción de $x$$\mathbb{N}''$.
En otras palabras, cada (sub)larga puede ser visto como una larga que la original. Teniendo en cuenta esto, por hipótesis cada subsequence tiene un (sub)subsequence que converge a $a$. Pero este argumento, esto significa que podemos cambiar cada subsequence con convergente. Y entonces podemos usar el resultado de que me dijo.
Es mi idea correcta? Es esta realmente la manera de demostrar que el reclamo? Mi única duda es que necesito cada subsequence convergentes a $a$ a utilizar el resultado. En este caso yo no puedo ver cómo me puede argumentar que esto implica cada subsequence converge a $a$.
Cómo puedo terminar esta prueba?
