La siguiente ecuación a resolver :$ \tan x+\cot x=\sqrt{2}(\cos x+\sin x)$

Question

La siguiente ecuación a resolver :

$$ \tan x+\cot x=\sqrt{2}(\cos x+\sin x)$$

Yo:

$$\frac{2}{\sin 2x}=\sqrt{2}(\cos x+\sin x)$$

$$\left(\frac{2}{\sin 2x}\right)^2=(\sqrt{2}(\cos x+\sin x))^2$$

$$\left(\frac{2}{\sin 2x}\right)^2=2(1+\sin 2x)$$

$$2\sin^2 2x +2\sin ^3 2x=4$$

$$2\sin^2 2x +2\sin ^3 2x-4=0$$

$t=\sin 2x$

$$2t^3+2t^2-4=(t-1)(t^2+2t+4)$$

$$\sin 2x =1\\$$

¿es lo correcto ?

Answer 1

Camino de regreso a la primera línea, se podría decir "$\cos x + \sin x$ es maximizada en $x = \pi/4$, con un valor de $\sqrt{2}$, por lo que el lado derecho no es más que 2; la mano izquierda, en la otra mano, (para $\sin 2x $ positivo, al menos) es al menos 2. Para hacer estas igual, necesita

• $\sin 2x = 1$ $\cos x + \sin x = \sqrt{2}$ o

• $\sin 2x = -1$ $\cos x + \sin x = -\sqrt{2}$

Ahora es bastante fácil de resolver, y no es necesario meterse con cualquiera cúbicas, etc.

Pero se preguntó si la solución estaba en lo correcto, así que permítanme hablar de eso. Justo en el punto donde ambos lados al cuadrado, se introdujo la posibilidad de falsos raíces, donde los dos lados son los negativos de cada uno de los otros, pero sus cuadrados son iguales. Usted necesita para comprobar que esto no sucede por alguna de las soluciones donde $\sin 2x = 1$ (no), y en ese punto, estará hecho.

Answer 2

Excluyendo $\sin x\cos x=0$, puede volver a escribir

$$\sqrt2(\cos x+\sin x)\sin x\cos x=1$$

o

$$\sin\left(x+\frac\pi4\right)\sin(2x)=1.$$

Para este producto se $1$, ambos factores deben ser $1$ o $-1$.

Entonces

$$x+\frac\pi4=k\pi+\frac\pi2,\\2x=l\pi+\frac\pi2,$$

donde $k$ $l$ tienen la misma paridad. Entonces como $l=2k$, $l$ y $k$ son incluso y

$$x=2n\pi+\frac\pi4.$$

Answer 3

Evitar el cuadrado siempre que sea posible, ya que inmediatamente que presenta extrañas raíces.

Método De $\#1:$ Puesto $u=\dfrac{\cos x+\sin x}{\sqrt2}\implies2u^2=1+\sin2x$

$$\implies\dfrac2{2u^2-1}=2u\iff2u^3-u-1=0$$

Claramente, $u=1$ es una raíz. Consulte las otras raíces.

$\implies1=\dfrac{\cos x+\sin x}{\sqrt2}=\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)$

$\implies x-\dfrac\pi4=2m\pi$ donde $m$ es cualquier entero.

Método de $\#2:$

$\cos x+\sin x=\sqrt2\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)$

$\sin2x=\cos2\left(x-\dfrac\pi4\right)=\left(\sqrt2\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)\right)^2-1$