¿Cuál es el $10$ $\mathbf{4}\otimes\mathbf{4}$ producto tensor de $SO(6)$?

Question

Esta es la pregunta 22.D en Howard Georgi la Mentira de Álgebras de libro, pensé por un minuto, pero no podía llegar a una respuesta plausible.

Es un hecho que la(6) y SU(4) álgebras son equivalentes. Además, la fundamental $\mathbf{4}$ de SU(4) es el spinor de SO(6). La parte pertinente de la pregunta es "En SU(4), $\mathbf{4}\otimes\mathbf{4}=\mathbf{6}\oplus\mathbf{10}$, el $\mathbf{6}$ es el vector de la representación de SO(6). ¿Cuál es el $\mathbf{10}$ (6) idioma?"

El hecho de que $\mathbf{4}\otimes\mathbf{4}$ debe contener la $\mathbf{6}$ es obvia, ya que dos spinors pueden ser combinados para dar un vector por definición. Estoy un poco desconcertado con la $\mathbf{10}$, aunque. En el mayor peso de la notación de la(6), donde el $\mathbf{6}=[1,0,0]$, el spinor es $\mathbf{4}=[0,1,0]$, y podemos demostrar que el $\mathbf{10}=[0,2,0]$. Pero, ¿cuál es su interpretación?

Answer 1

En el $SU(4)$ idioma, el 10 dimensiones de la representación es la simétrica spintensor $T_{(ab)}$ $4\times 5 / (2\times 1) = 10$ componentes.

En el $SO(6)$ de representación, es el auto-dual 3-forma con $$ \frac 12 \cdot \frac{ 6\times 5 \times 4}{3\times 2 \times 1} = 10$$ componentes. Es el tensor de la $T_{[kmn]}$ que también obedece a $$ T_{kmn} = \frac{\pm i}{3!} \epsilon_{kmnpqr} T_{pqr} $$ Creo que en la distancia Euclídea de la firma, el factor de $\pm i$ (el signo es la auto-dualidad vs anti-selfduality) tiene que ser añadido debido a la doble repetido dualization es $*^2=-1$. Tenga en cuenta que debido a la $i$, el 10 dimensiones de la representación es complejo, no es real (y no pseudoreal).

Usted puede adivinar la rep porque es el más pequeño de la representación irreducible de $SO(6)$ más grande que el de 6 dimensiones.

Como user23... señaló, también puede derivar de este hecho por intercalando gamma matrices. Todos los componentes de un producto tensor de la spinors puede obtenerse $\psi^T M \psi$ para algunos matriz $M$ inserta entre las dos spinors (aquellos con los que nos tensor multiplicado). Cada $M$ puede ser escrito como una combinación de productos de matrices gamma. Porque ninguno de los $\psi$ $\psi^T M\psi$ es complejo conjugado, necesito un número impar de gamma matrices (multiplicado y antisymmetrized), y 1,3,5 son las únicas opciones. 1,5 son equivalentes y 3 es la única opción (equivalente a sí mismo, que es la razón por la auto-dualidad es posible).

Tenga en cuenta que el 20 dimensiones de la representación $T_{kmn}$ fue dividido en dos partes, el complejo de auto-dual y complejo anti-selfdual representación. Usted puede estar sorprendido de que el 6 dimensiones de la representación (el tensor antisimétrico producto de los dos spinors) es real. Pero es real, porque de otra dualidad de la operación, ahora en el $SU(4)$ idioma. Aunque $a,b$ "complejas" $SU(4)$ índices y $A_{[ab]}$ "ve" compleja y, además, la condición real en la $A_{[ab]}$ antisimétrica spintensor puede ser escrito como $A^* = *_4 A$. (Relación señal haría a los 6 componentes de la representación "imaginario puro", que es básicamente el mismo como "real" cuando se trata de la búsqueda de repeticiones.)