Supongamos $(X,Y) \overset{d}{=} (X,Z)$ $Y$ $Z$- medible. Demostrar $X$ $Z$ condicionalmente independientes dado $Y$.

Question

Esta es una pregunta fuera de Kallenberg las Bases de la Moderna de la Probabilidad.

Supongamos $(X,Y) \overset{d}{=} (X,Z)$ $Y$ $Z$- medible. Demostrar $X$ $Z$ condicionalmente independientes dado $Y$.

Puedo mostrar que $P(X \in B \mid Y) \overset{d}{=} P(X \in B \mid Z)$, pero estoy teniendo problemas para mostrar una.s. de la igualdad. (He estado tratando de mostrar que $P(X \in B \mid Y)$ es una versión de $P(X \in B \mid Z)$, pero fue en vano.)

EDIT: se me olvidó mencionar que muestra $P(X \in B \mid Y) = P(X \in B \mid Z)$.s. es un equivalente a la condición de uno de Doob de los lemas.

Answer 1

Bueno, el profesor me ayudó en horario de oficina. Si este se quema un agujero en su curiosidad:

La invocación de la equivalencia de la distribución de la manera correcta, podemos mostrar a $P(X \in B \mid Y) \overset{d}{=} P(X \in B \mid Z)$. El tratamiento de la $P(X \in B \mid Y) = E( P(X \in B \mid Z) \mid Y)$, se desprende de este hecho general: Si $X \overset{d}{=} E(X \mid \mathcal{F})$,$X = E(X \mid \mathcal{F})$.s. (Esto puede ser visto por considerar $E( |X - E(X \mid \mathcal{F})|^2 )$.