Estoy tratando de factorizar
$$x^5+4x^3+x^2+4=0$$
He utilizado la regla de Ruffini para obtener
$$(x+1)(x^4-x^3+5x^2-4x+4)=0$$
Pero no sé qué hacer después.
La solución es $(x+1) (x^2+4) (x^2-x+1) = 0$ . He intentado utilizar el método de completar el cuadrado pero sin resultado. ¿Podríais darme pistas?
Comenzaría por factorizar $x^3$ a partir de los dos primeros términos y observando el patrón en el resultado. $$ \begin{split} x^5+4x^3 + x^2 + 4 &= x^3 \left(x^2+4\right) + x^2+4 \\ &= \left(x^2+4\right)\left(x^3+1\right) \\ &= \left(x^2+4\right)(x+1)\left(x^2-x+1\right), \\ \end{split} $$ donde el último paso es la factorización estándar de la suma de dos cubos.
¡Muy bonito! Sin esos trucos, el método de Kroneckers es necesario para factorizar un polinomio.
@Michael T - Nada más que aprender a una edad temprana (haciendo muchas integrales y otras cosas) que a veces vale la pena dividir un término en la suma (o producto a veces) de dos términos. Escribir el coeficiente en $x^2$ como $1+4$ crea una bonita secuencia de coeficientes: 1, -1, 1; 4, -4, 4; y el resto fluye a partir de ahí. Como dijo gt6989b más arriba, si haces suficientes cosas de este tipo, desarrollas una intuición. Algunas de estas cosas son tanto arte como ciencia.
Aquí creo que esto funcionará . La idea principal es dividir $5x^2$ como $4x^2 + x^2$
$$(x+1)(x^4-x^3+5x^2-4x+4)=0$$ $$(x+1) (x^4-x^3+4x^2+ x^2-4x+4)=0 $$ $$(x+1) (x^4+4x^2+ x^2-x^3-4x+4)=0 $$ $$(x+1)[ x^2(x^2+4)+ (1-x)( x^2 +4)]=0 $$ $$(x+1)[ (x^2+4)(x^2+1-x))=0 $$ $$(x+1)[ (x^2+4)(x^2-x+1))=0 $$
Por lo tanto, se ha demostrado
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Ya que conoces la solución sólo tienes que intentar volver al paso anterior
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Esos dos términos que contienen el número $4$ sólo pedir para ser agrupados y factorizados, ¿no estás de acuerdo? Entonces, en los dos restantes, $x^2$ es una opción obvia para un factor común. Pero ahora tenemos dos grupos de términos, cada uno de los cuales contiene $x^3+1$ ¡! Después de factorizar eso, observamos que la cuadrática restante no tiene raíces reales, y $x^3+1$ puede ser factorizado al darse cuenta de que $1=1^3$ y utilizando el hecho de que $a^3+b^3$$ =(a+b)(a^2-ab+b^2)$.