Prueba $-1$ y $1$ son las únicas unidades en $\mathbb{Z}$

Question

Prueba $\mathbb Z^*=\{-1,1\}.$

Tengo una prueba, que está publicada como respuesta más abajo. Estoy buscando una prueba alternativa.

Answer 1

Supongamos que $ab=1$ . En particular $a,b \neq 0$ . Tenga en cuenta que tiene $|ab| \geq |a|$ y $|ab| \geq |b|$ ya que estamos trabajando con números enteros (se puede demostrar fácilmente por inducción en $m$ que para todos $n,m \in \mathbb{N}\setminus \{ 0 \} $ tienes $ nm \geq n$ ).

Así que $1 = |ab| \geq |a|$ . Esto significa que $a \in \{ -1, 0, 1\}$ .

Esto significa que $\mathbb{Z}^* \subseteq \{ -1, 1\}$ . Evidentemente, la inclusión contraria es trivial.

Answer 2

Si $x$ es una unidad $\mathbb{Z}$ entonces hay una $y \in \mathbb{Z}$ tal que $xy = 1.$ Así que encontrar las unidades en $\mathbb{Z}$ es lo mismo que encontrar las soluciones enteras de la ecuación $xy = 1.$

Answer 3

Reclamación: $Z^*=\{-1,1\}$

$$1⋅1=1⇒1∈Z^*$$ $$(-1)(-1)=-(-1)=1∈Z^*$$ Supongamos que $u \in Z^*.$ Entonces $\in Z^+=p$ o $–u∈Z^+$

Basta con demostrar que $u=±1$ . Si $u∈p,$ entonces podemos proceder como sigue

WTS:- $u=1$ Si $u≠1,$ entonces por WOA concluimos que $u>1$ $$⇒u≥2=1+1>1$$ Así, $u=u_1+1$ para $u_1≥1$ $$1=u⋅v ~for~some~ v∈Z^+ $$ $$⇒1=(u_1+1)v=u_1 v+v$$ Observe que $u_1 v≥1,$ y $v∈p→v≥1$ $$⇒u_1 v+v≥1+1=2$$ $$⇒1=u⋅v≥2 →←$$ Del mismo modo, se puede llegar a una contradicción si $-u\in p ~and~-u\neq -1.$