Inversa de matrices con 3 partes!

Question

Me pregunto si hay alguna solución de forma cerrada para la inversa de las matrices con el siguiente formulario, o si es posible descomponer ellos.

$ \left[\begin{array}{cccccccccc} {\color{red}1} & {\color{red}x} & {\color{red}x} & {\color{red}x} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y}\\ {\color{red}x} & {\color{red}1} & {\color{red}x} & {\color{red}x} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y}\\ {\color{red}x} & {\color{red}x} & {\color{red}1} & {\color{red}x} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y}\\ {\color{red}x} & {\color{red}x} & {\color{red}x} & {\color{red}1} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}{\color{green}y}} & {\color{green}y} & {\color{green}y} & {\color{green}y}\\ {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}1} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z}\\ {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}1} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z}\\ {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}1} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z}\\ {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}1} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z}\\ {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}1} & {\color{blue}z}\\ {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}z} & {\color{blue}1} \end{array}\right] $

La diagonal de la matriz es 1, y la matriz se compone de tres partes donde la diagonal de las entradas de la matriz en cada parte son iguales.

Cualquier comentario o referencia es de agradecer.

Answer 1

Llame a su gran matriz $M$. Deje $P$ $4\times4$ real ortogonal de la matriz cuya primera columna es igual a $u=\frac12(1,1,1,1)^T$ $Q$ $6\times6$ real ortogonal de la matriz cuya primera columna es igual a $v=\frac1{\sqrt{6}}(1,1,1,1,1,1)^T$. Entonces \begin{align*} &\begin{bmatrix}P^T\\ &Q^T\end{bmatrix} M\begin{bmatrix}P\\ &Q\end{bmatrix}\\ =& \begin{bmatrix} 1+3x&0&0&0&y\sqrt{24}&0&0&0&0&0\\ 0&1-x&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1-x&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1-x&0&0&0&0&0&0\\ z\sqrt{24}&0&0&0&1+5z&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1-z&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&1-z&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&1-z&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&1-z&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&1-z \end{bmatrix} \end{align*} y por lo tanto \begin{align*} &\begin{bmatrix}P^T\\ &Q^T\end{bmatrix} M^{-1}\begin{bmatrix}P\\ &Q\end{bmatrix}\\ =& \begin{bmatrix} \tfrac{1+5z}{D}&0&0&0&\tfrac{-y\sqrt{24}}{D}&0&0&0&0&0\\ 0&\tfrac1{1-x}&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&\tfrac1{1-x}&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&\tfrac1{1-x}&0&0&0&0&0&0\\ \tfrac{-z\sqrt{24}}{D}&0&0&0&\tfrac{1+3x}{D}&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&\tfrac1{1-z}&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&\tfrac1{1-z}&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&\tfrac1{1-z}&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&\tfrac1{1-z}&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&\tfrac1{1-z} \end{bmatrix} \end{align*} donde $D=(1+3x)(1+5z)-24yz$. Este tiene la misma estructura de la matriz como la primera muestra de la ecuación, excepto que las entradas son diferentes. Es decir, la diagonal de bloques son de la forma $aI+bE_{11}$ ($E_{11}$ denota una matriz de tamaño adecuado, con un $1$ en la esquina superior izquierda y ceros en otros lugares) y su antidiagonal bloques son de la forma $cE_{11}$. Por lo tanto, $M^{-1}$ debe tener la misma estructura como $M$, es decir, su diagonal de bloques son de la forma $aI+bJ$ ($J$ denota una matriz de todos) y su antidiagonal bloques son de la forma $cJ$. De hecho, multiplicando $P\oplus Q$ a la izquierda y $P^T\oplus Q^T$ en el derecho y por el uso de la propiedad que $Pe_1=u$$Qe_1=v$, obtenemos $$ M^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{I_4}{1-x} - \frac{(1+5z)x - 6yz}{(1-x)D}J_{4,4} &-\frac{(1+5z)y - 6yz}{(1-z)D}J_{4,6}\\ -\frac{(1+3x)z - 4zx}{(1-x)D} J_{6,4} &\frac{I_6}{1-z} - \frac{(1+3x)z - 4zy}{(1-z)D} J_{6,6} \end{bmatrix} $$ donde $J_{m,n}$ indica el $m\times n$ matriz con todas las entradas igual a $1$.