Encuentra el valor de : $\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^n \left(1+\ln\left(\frac{k+\sqrt{k^2+n^2}}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right)$

Question

Computar $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^n \left(1+\ln\left(\frac{k+\sqrt{k^2+n^2}}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right)$

Tenga en cuenta que $\frac{k+\sqrt{k^2+n^2}}{n}\geq 1$ así que estamos tratando con términos positivos.

Tomando $\log$ del producto, nos interesa el límite de $\displaystyle \sum_{k=1}^n \ln\left( 1+ \exp \left(\frac 1n\ln\ln \left( \frac kn + \sqrt{\left( \frac{k}{n} \right) ^2 +1}\right)\right) \right)$

que se parecen mucho a una suma de Riemann.

Configuración $f(x) =\ln\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ la suma se reescribe como $\displaystyle \sum_{k=1}^n \ln\left( 1+ \exp \left(\frac 1nf \left(\frac kn\right)\right) \right)$

He tratado de utilizar los límites habituales de $\ln$ y $\exp$ para exhibir una suma de Riemann, pero es bastante complicado.

Answer 1

Llame a $$a(n,k)=\ln \left( \frac{k}{n}+\sqrt{\frac{k^2}{n^2}+1 } \right)$$ y observe que $|a(n,k)|\le C$ para alguna constante fija $C$ . Queremos evaular $$S_n=\sum_{k=1}^n \ln(1+1/n\ln(\frac{1}{n}a(n,k))).$$ Utilizando $\log(1+x)=x+O(x^2)$ podemos escribir $$S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}a(n,k)+O(\frac{1}{n}a(n,k))=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}a(n,k)+O(\frac{1}{n^2})=R_n+O(1/n)$$ donde $R_n$ es la n-ésima suma de Riemann de la integral $$\int_0^1 \ln(x+\sqrt{x^2+1}) dx=I.$$ Por lo tanto, $$\lim_{n \to \infty} S_n=I$$ y entonces el producto original es $e^I$ .