Intersección infinita de conjuntos infinitos

Question

Estaba tratando de demostrar que una colección de conjuntos es un espacio topológico sobre un conjunto y me encontré con esta pregunta que ahora no puedo resolver:

¿Puede la intersección infinita de conjuntos infinitos (todos los subconjuntos de un conjunto dado) ser finita pero no vacía?

Si es posible, ¿alguien puede construir algún ejemplo?

EDITAR:

Así que la pregunta real era: Que $X$ sea un conjunto infinito. ¿Es la siguiente colección de subconjuntos de $X$ dado por $T=\{U \in X : X \backslash U$ es infinito o vacío $\}$ ¿define una topología? Respuesta : No.

Que ahora con su ayuda puedo probar. Gracias a todos :)

Answer 1

Toma los conjuntos $S_n = \{n^k \colon k \ge 0\}$ , $\bigcap_{n \ge 1} S_n = \{1\}$ .

Answer 2

Si $X = \mathbf{R}$ y $I_r = \left[-\frac{1}{r},\frac{1}{r}\right]$ entonces $$\bigcap_{r=1}^\infty I_r = \{0\}.$$ Esto se llama la propiedad de intervalo anidado.

Answer 3

Esto puede ser útil para usted:

Dejemos que $X=\mathbb N$ y que $\mathcal U=\{\{1,3, 5\}, \{1,3, 5, 0\}, \{1,3, 5, 0, 2 \}, \{1,3, 5, 0, 2 , 4\},....\}$ . Claramente, la intersección infinita de $\mathcal U$ es siempre $\{1,3,5\}$ y, por tanto, finito.

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Puedo introducir una definición de $calibre-{\aleph_1}$ que entre condición de cadena contable y separable.

Un espacio topológico $X$ se llama $calibre-{\aleph_1}$ si para cualquier conjunto abierto incontable y no vacío de $X$ existe una subcolección incontable tal que $\bigcap\{U_\xi: \xi < \aleph_1\}\not=\emptyset$ .