Podemos ver fácilmente que si una secuencia de interior en funciones converge, entonces, ciertamente, el límite es todavía interior (usando el hecho de que una contables de la unión de los conjuntos de medida cero todavía tiene medida cero). Esto implica que el conjunto de interior en funciones es cerrado en $H^2$.
Ahora, es el conjunto de la singular interior funciones cerrado?
Sabemos que un singular interior de la función tiene la forma:
$$S(z) = K \text{exp} \left ( -\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{e^{i \theta} + z}{e^{i \theta} - z} \, d\mu(\theta) \right )$$ donde $\mu$ es positivo Borel medida singular con respecto a la medida de Lebesgue y $K$ es una constante de módulo de $1$.
Por lo tanto, si tomamos $S_n \to S$ $H^2$ $S_n \to S$ uniformemente en compactos de conjuntos. Claramente $S$ es interior porque $S_n$ es de interior, ahora tenemos que demostrar que es singular. Mi pregunta ahora es, ¿alguien tiene una idea de cómo puedo mostrar esto? Sé que si $(\mu_n)$ es una secuencia de positivo finito medidas de Borel, entonces por Riesz y Alaoglu tenemos una larga convergen a un número finito positivo de la medida de Borel $\mu$. Puedo usar esto?
