Cómo mostrar que $e^{-(-2)^\frac{2}{3}}$ es complejo.

Question

Estoy desconcertado con la que muestra que el $e^{-(-2)^\frac{2}{3}}$ es complejo.

Mi entendimiento es:

$$e^{-(-2)^\frac{2}{3}}= e^{-(4)^\frac{1}{3}}$$

desde ${-(4)^\frac{1}{3}}$ es el número real negativo, por lo $e^{-(4)^\frac{1}{3}}$ es siempre un número real positivo.

Answer 1

Recordemos que $e^{i\pi}=-1$, lo $-2=2e^{i\pi}=e^{\log(2)+i\pi}$. Usted puede utilizar esto para calcular $(-2)^{\frac{2}{3}}=e^{\frac{2}{3}(\log(2)+i\pi)}$. A continuación, puede utilizar la fórmula de Euler (a partir de la cual usted puede averiguar a que $e^{i\pi}=-1$) para expresar $(-2)^{\frac{2}{3}}$ $a+bi$ para algunos números reales $a$$b$. Una segunda aplicación de la fórmula de Euler (esta vez aplicados a $e^{-(-2)^{\frac{2}{3}}}$) va a resolver su problema.

Answer 2

Deje $$Z=e^{-(-2)^{2/3}}$$ Nota que

$$-2=2e^{(2k+1)i\pi}$$

vamos $$z=(-2)^{2/3}=\sqrt[3]{4}e^{i\pi/3},\sqrt[3]{4}e^{i\pi},\sqrt[3]{4}e^{5i\pi/3}$$

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

Ahora $z$ $3$ de los valores, $a$z=-\sqrt[3]{4} \,\, ,\,\, \sqrt[3]{4}\left[\cos\left(\frac{i\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{i\pi}{3}\right)\right] \,\, ,\,\, \sqrt[3]{4}\left[\cos\left(\frac{5i\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{5i\pi}{3}\right)\right]$$

Ahora la escritura $Z=e^{-z}$ en la forma $a+bi$ es tarea larga, pero se puede notar que, como se señaló, hay un valor real de $Z$ da como

$$Z=e^{-(-\sqrt[3]{4})}=e^{\sqrt[3]{4}}$$ but we should not ignore other values of $z$ and which will yield complex(pun intended here!) values of $Z=e^{-z}$