¿Por qué la suma de los residuos de $\frac{1}{1+z^n}$ en el medio plano superior $1/[in\sin(\pi/n)]$ ?

Question

Supongamos que $F_n=1/(1+z^n)$ para $n$ incluso. Tengo curiosidad, ¿por qué la suma de los residuos de $F_n$ en el semiplano superior una serie geométrica cuya suma es $1/[in\sin(\pi/n)]$ ?

Sé que si $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$ tiene una raíz simple $a$ de $Q(z)$ entonces $\text{Res}[f(z),a]=\frac{P(a)}{Q'(a)}$ . Por lo tanto, si $p$ es un polo de $F_n$ entonces $$ \text{Res}[F_n,p]=\frac{1}{np^{n-1}}=\frac{p}{np^n}=-\frac{p}{n}. $$

Por la fórmula integral de Cauchy, la suma de los residuos en el semiplano superior es $$ \sum_{y>0}\text{Res}[F_n,z]=\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^\infty F_n(x)dx=\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^n}. $$

No sé cómo proceder para demostrar que se trata de una serie geométrica que suma $1/[in\sin(\pi/n)]$ . Agradecería sugerencias para llegar a la conclusión. Gracias.

Answer 1

Los polos de $(1+z^n)^{-1}$ se producen en el $n^{\text{th}}$ raíces de $-1$ , a saber

$$z_k = e^{i\pi(2k+1)/n}.$$

Estos polos en el semiplano superior vienen dados por $0 \leq k \leq \frac{n}{2}-1$ . Como ha notado, el residuo en $z_k$ es

$$-\frac{1}{n}e^{i\pi(2k+1)/n},$$

para que la suma de los residuos en el semiplano superior sea

$$\begin{align} \sum_{k=0}^{n/2-1} - \frac{1}{n} e^{i\pi(2k+1)/n} &= - \frac{1}{n} e^{i\pi/n} \sum_{k=0}^{n/2-1} \left(e^{i 2 \pi/n}\right)^k \\ &= -\frac{1}{n} e^{i \pi/n} \frac{\left(e^{i 2 \pi/n}\right)^{n/2}-1}{e^{i 2 \pi/n}-1} \\ &= \frac{1}{n} e^{i \pi/n} \frac{2}{e^{i 2 \pi/n}-1} \\ &= \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{e^{i\pi/n} - e^{-i\pi/n}} \\ &= \frac{1}{i n} \cdot \frac{2 i}{e^{i\pi/n} - e^{-i\pi/n}} \\ &= \frac{1}{i n \sin(\pi/n)}. \end{align}$$