De cuántas maneras existen de tres medallas para ser otorgado si los lazos son posibles?

Question

La Pregunta

Hay seis corredores en los 100 metros lisos. Cuántos maneras existen para tres medallas que se otorgará en caso lazos son posibles? (El corredor o corredores que terminar con la más rápido tiempo de recibir las medallas de oro, el corredor o corredores que terminar con exactamente un corredor por delante recibir plata medallas, y el corredor o corredores que terminar con exactamente dos corredores por delante recibir medallas de bronce.)

Mi Intento

Yo vi un par de casos:

Caso I: Sin Ataduras

P(6,3) = 120 maneras de recoger la medalla de oro

Caso II: 2 personas empate

En primer lugar debemos elegir a las dos personas que empate, este se puede hacer C(6,2) = 15 formas. Ahora tengo que elegir una medalla para ellos para ganar, lo que abre más de los casos, porque si el empate para el primero no hay medalla de plata que se concede y si el empate para el segundo no hay medalla de bronce es otorgado.

Mi Problema

Mi problema con este método es que se tarda demasiado tiempo para considerar todos los casos y no sería práctico si yo estaba escribiendo una prueba, o si yo era el diseño de un algoritmo para este tipo de pregunta. Me pregunto si hay una manera más eficiente de resolver esto?

La Respuesta

Mi libro dio la respuesta $873$ si que ayuda a todos

Answer 1

Deje $n$ el número de medallas de oro otorgado.

$\textbf{1)}\;\;$Si $n=2$, entonces no se $\binom{6}{2}=15$ formas de elegir a los ganadores de medallas de oro y

$\hspace{.3 in}2^4-1=15$ formas de elegir las medallistas de bronce, por lo que hay $15\cdot15=225$ posibilidades.

$\textbf{2)}\;\;$ Si $n=1$, $\binom{6}{1}$ formas para otorgar la medalla de oro, y, a continuación,

hay $\binom{5}{1}=5$ formas, para otorgar una medalla de plata y $2^4-1=15$ formas para otorgar medallas de bronce, y

hay $\binom{5}{2}+\cdots+\binom{5}{5}=2^5-\binom{5}{0}-\binom{5}{1}=26$ formas de adjudicación de más de una medalla de plata;

así que en este caso no se $6[5\cdot15+26]=606$ posibilidades.

$\textbf{3)}\;\;$ Si $n\ge3$, $\binom{6}{3}+\cdots+\binom{6}{6}=2^6-\binom{6}{2}-\binom{6}{1}-\binom{6}{0}=42$ formas para otorgar la medalla de oro.

Por lo tanto hay un total de $225+606+42=873$ formas para otorgar las medallas.

Answer 2

Tal vez la mejor manera de romper hacia abajo es por casos le gusta este:

1. 6 ganar el oro (1 posibilidad)
2. 5 ganar el oro (6 posibilidades)
3. 4 ganar el oro (${6 \choose 2}=15$ posibilidades)
4. 3 ganar el oro (${6 \choose 3}=20$ posibilidades)
5. 2 ganar el oro, cuatro de ganar el bronce (15 de posibilidades)
6. 2 ganar el oro, tres de ganar el bronce (60 poss.)
7. 2 victoria de oro, dos de ganar el bronce (90 poss.)
8. 2 ganar el oro, uno gana bronce (60 poss.)
9. 1 gana la medalla de oro, 5 de ganar plata (6 poss.)
10. 1 gana la medalla de oro, 4 de ganar plata (30 poss.)
11. 1 gana la medalla de oro, 3 de ganar plata (60 poss.)
12. 1 gana la medalla de oro, 2 ganar plata (60 poss.)
13. 1 gana la medalla de oro, 1 de ganar plata, ganar 4 de bronce (30 poss.)
14. 1 gana la medalla de oro, 1 de ganar plata, ganar 3 de bronce (120 poss.)
15. 1 gana la medalla de oro, 1 de ganar plata, 2 de ganar el bronce (180 poss.)
16. 1 gana la medalla de oro, 1 de ganar plata, 1 de ganar el bronce (120 poss.)

Entonces tenemos

$$1 + 6 + 15 + 20 + 15 +60+90+60+6+30+60+60+30+120+180+120= 873$$

Bingo!