Es $\mathbb{Q^+}$ countably infinito?

Question

Es $\mathbb{Q^+}$ countably infinito? Estoy tratando de construir un bijection $\mathbb{Z^+}\rightarrow \mathbb{Q^+}$, creo que es obvio que para encontrar una inyección de $\mathbb{Z^+}\rightarrow \mathbb{Q^+}$, pero no puedo probar por que de la inyección, no existe un surjection entre el$\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}$. Es allí cualquier manera de demostrarlo ?

Editado: ¿hay un bijection entre el $\mathbb{Z^+}\times \mathbb{Z^+}\rightarrow \mathbb{Q^+}$

Answer 1

Ver el Cantor-Bernstein-Schroeder teorema que dice que usted sólo tiene que inyectar cada conjunto en el otro. Resulta que en un bijection. Ahora tome $\frac ab \to 2^a3^b$

Answer 2

Puede haber otras formas de demostrar un bijection entre un conjunto numerable y $\mathbb{Q}^+$, pero yo también atribuyen el método de diagonalización. Ya estoy sospechando que esto puede ser una tarea no voy a escribir una solución completa.

Considere una tabla donde en la fila $i$ y la columna $j$, se coloca el número racional $\frac{j}{i}$; después, cada número racional aparece en la tabla. Definir una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}^+$, y demostrar que es bijective. Podemos lograr esto mediante la que atraviesa nuestra mesa en diagonal en el orden, $$\frac{1}{1},\frac{2}{1},\frac{1}{2},\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3},\frac{4}{1},...$$ No voy a sacar la mesa, pero es claro que si usted trabaja fuera de ti mismo cómo ir de aquí sin pasar por cualquier número que ya se ha encontrado en su lista (en orden a garantizar la $f$ es uno-a-uno). Así que, ya que cada elemento de a $\mathbb{Q}^+$ se encuentra eventualmente, $f$ es en y por lo tanto bijective. Por lo tanto, $\mathbb{Q}^+$ es numerable.