He escuchado de aquí que la estabilidad de las órbitas (que requieren una gran cantidad de fuerza para empujar de forma significativa de su trayectoria elíptica) sólo puede existir en un espacio de tres dimensiones debido a la gravedad que podría operar de manera diferente en los dos o cuatro dimensiones del espacio. ¿Por qué es esto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Específicamente en lo que se refiere es el"inverso del cuadrado de la ley', de la naturaleza de la fuerza de la gravedad, es decir, la fuerza de la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:
$F_g \propto \frac{1}{d^2}$.
Si usted ampliar este concepto para que, de generales de ley de potencia de las fuerzas (por ejemplo, cuando usted está pensando en el teorema del virial), se puede escribir:
$F \propto d^a$,
Estable órbitas son posibles sólo para unos pocos, en especial de los valores del exponente '$a$'---en particular, y más específicamente " cerrado1', estable órbitas se producen sólo para $a = -2$ (el inverso del cuadrado de la ley) y $a = 1$ (ley de Hooke). Esto se llama"Bertrand Teorema'.
Ahora, ¿qué tiene que ver con dimensiones espaciales? Bueno, resulta que en una descripción más precisa de la gravedad (en particular, la teoría general de la relatividad) el exponente de la ley de potencia termina siendo uno menor que la dimensión del espacio. Por ejemplo, si el espacio 2-dimensional, entonces la fuerza se vería $F \propto \frac{1}{d}$, y no habría cerrado órbitas.
Tenga en cuenta también que $a<-3$ (y por tanto de 4 o más dimensiones espaciales) es incondicionalmente inestable, como por @nervxxx la respuesta a continuación.
1: Un 'cerrado' órbita es uno en el que la partícula vuelve a su posición anterior en el espacio de fase (es decir, su órbita se repite).
iafonov
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Voy a intentar responder por considerar radial de las desviaciones de una órbita circular. En primer lugar tenemos que asumir dos cosas acerca de nuestro n-dimensional universo: la segunda ley de Newton aún se mantiene, es decir,
para una partícula del vector de posición en n-dimensiones $\vec{x} = (x_1, x_2, \cdots x_n)$, \begin{align} m \ddot{\vec{x}} = \vec{F}, \end{align} donde $\vec{F}$ es algunos n-dimensional de la fuerza,
y también que la ley de la gravedad está dada por la ley de Gauss: \begin{align} \nabla \cdot \vec{g} = -4\pi G\rho, \end{align} donde $\vec{g}$ es la fuerza gravitacional de campo. (Ver wikipedia para obtener más información).
La solución para que la pde es \begin{align} \vec{g} \sim = - r^{1-n} \hat{e_r}, \end{align} para $n \geq 2$. (Para $n = 1$ el movimiento es en una línea y porque siempre es atractivo el 'órbita' seguirá siendo un 'órbita')
Desde el movimiento siempre será restringida a moverse en el 2-plano definido por la inicial radial del vector $\vec{r}_0$ y la velocidad inicial del vector de $\vec{v}_0$, es más fácil analizar el movimiento en coordenadas cilíndricas. Es decir, la segunda ley de Newton se convierte en \begin{align} m(\ddot{r} - \dot{\theta}^2r)&=F_r \\ m(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}) &= F_\theta \\ m \ddot{x_3} &= F_{x_3} \\ m \ddot{x_4} &= F_{x_4} \\ &\cdots \\ m \ddot{x_n} &= F_{x_n}, \end{align} donde $x_1$ $x_2$ son las coordenadas del plano atravesado por $\vec{v}_0$$\vec{r}_0$. Aquí $r$ que significa realmente la $\sqrt{x_1^2 + x_2^2}$, pero resulta que debido a que el movimiento es sólo el 2-D es decir $x_3 = x_4 = \cdots x_n = 0$, podemos decir $r = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$.
Ahora hacemos uso del hecho de que la gravedad siempre es radial, por lo $F_\theta = 0$ y podemos combinar las dos primeras ecuaciones para obtener \begin{align} \ddot{r} - \frac{L^2}{r^3} = F_r = f(r), \end{align} donde $L$ es una constante de movimiento (en 3D este es el momento angular).
Para una órbita circular en $r = r_c$, $\ddot{r} = 0$, así que nos quedamos con \begin{align} -\frac{L^2}{r^3} = f(r). \end{align} Considerar las pequeñas desviaciones de $r_c$: $x = r-r_c$. Conectando a la ley de newton y la ampliación de primer orden, se obtiene \begin{align} \ddot{x} + \left[-3f(r_c)/r_c-f'(r_c) \right]x = 0. \end{align} Este es un armónico simple ecuación si las cosas en el paréntesis es positivo. Así se obtiene una condición de estabilidad \begin{align} \left[-3f(r_c)/r_c-f'(r_c) \right] > 0. \end{align}
Vamos a ver esto en una fuerza radial $f(r) = -kr^d$. La estabilidad de la condición da \begin{align} -k r_c^d -\frac{kd}{3}r_c^d < 0, \end{align} lo que implica $d > -3$. Así que si la fuerza de la ley va como $r^d$ donde $d > -3$, entonces la órbita no es estable. Uno puede, con un poco más de trabajo, muestran que la $d = -3$ también es inestable.
Así que para las dimensiones de $n \geq 4$, la órbita es inestable. Parece, sin embargo, que para $d = -1$ o $-2$, la órbita es estable, por lo que esto nos da el resultado de que las órbitas en 3-dimensiones (nuestro mundo) y también el de 2-dimensiones son estables, en desacuerdo con el vídeo de la declaración. Yo podría estar equivocado, sin embargo.
saludos.
Sean Bannister
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Supongo que esto es hablando de Newton de la gravedad (es decir, no de la relatividad de einstein). Vamos a considerar el potencial efectivo:
$$V_\text{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + V(r)$$
donde $V$ es el ordinario de la energía potencial, y $L$ es el momento angular. En primer lugar, usted puede preguntar por qué el potencial efectivo tiene esta forma. Recuerde que para que una sola partícula, $L = mr^2 \omega$, así que esto es lo que es equivalente,
$$V_\text{eff}(r) = \frac{\omega^2 r^2}{2m} + V(r)$$
Este primer término aparece a partir de las ecuaciones de movimiento para una partícula libre. Fraseo en términos del momento angular es conveniente porque bajo fuerzas centrales, momento angular es una cantidad conservada.
¿Por qué usamos el potencial efectivo? Porque nos ayuda a hablar únicamente sobre la radial de los movimientos de una partícula, aglomerando el angular de las mociones con el real potencial. Un local del extremo del potencial efectivo nos habla de un equilibrio distancia.
Ahora, en 3d, el potencial de $V(r)$ para que la gravedad es $-GMm/r$. Lo que esto significa es que, como $r \to 0$, el potencial efectivo será eventualmente blow up, gracias al impulso angular parte, la superación de la gravitacional parte y obligando a la partícula hacia afuera de nuevo, a menos que se encuentra en directa infall trayectoria.
En 2d, el potencial es diferente. ¿Por qué es esto? Newtoniano de la gravedad ofertas con ecuaciones diferenciales de la forma $\nabla^2 V \propto \rho$. El punto de origen de la solución a esta ecuación (la de la función de Green) es proporcional a la $\ln r$ - comparar, por ejemplo, el potencial eléctrico de una línea infinita de carga. Esta es exactamente la misma geometría y ecuaciones diferenciales, al menos en su estructura.
Vamos a ver por un segundo que este es el caso. Deje $V = C \ln r$ 2d) para alguna constante $C$. La fuerza gravitacional es
$$F = - \frac{\partial V}{\partial r} = -C/r$$
que es hacia el interior para todos los positivos $C$. Esto es importante. En 2d, entonces, nuestro potencial efectivo se parece,
$$V_\text{eff} = Kr^{-2} + C \ln r$$
para dos constantes $K, C$. La fuerza es
$$F_{\text{eff}} = 2 K r^{-3} - C r^{-1} = -r^{-1} (-2K r^{-2} + C)$$
Por lo $r_\text{eq} = \sqrt{2K/C}$. Pero es que este equilibrio estable?
$$\frac{\partial F_\text{eff}}{\partial r} = -6 Kr^{-4} + C r^{-2}$$
En $r_\text{eq}$, esto se evalúa a $-6C^2/4K + C^2/2K = -C^2/K$.
Hm. Que sugieren que el punto de equilibrio es estable. Así que, tal vez alguien tiene una referencia a sugerir esto. Estoy atascado.
