¿Existe una estructura topológica natural para un campo general $\mathbb{K}$ ?

Question

Si no, ¿cuáles son las estructuras estándar que definen una topología?

Answer 1

La topología es a menudo sobre "lo cerca que están dos puntos". Esto significa que las topologías surgen de forma natural cuando podemos definir de algún modo lo que significa que dos objetos estén cerca. Por supuesto, se trata de una noción muy relativa, pero solemos tener una buena idea de lo que significa.

Cuando decimos que una topología surge naturalmente de alguna estructura, a menudo esperamos que ciertos endomorfismos de la estructura sean continuos. La adición, los mapas que preservan el orden, etc. Esto se debe a que definimos nuestros conjuntos abiertos básicos a partir de "subconjuntos naturalmente definibles", como los intervalos.

La adición no induce una topología natural. Esta es la razón por la que no todos los grupos son grupos topológicos, y no todos los campos son campos topológicos.

Por otro lado, la topología de orden sí induce algún tipo de noción de "cercanía", al utilizar conos o intervalos, como conjuntos abiertos básicos. Entonces, dados tres puntos, podemos decidir si los dos primeros están más cerca que el primero y el tercero, examinando en qué tipo de conos aparece cada par.

Answer 2

Este artículo de la enciclopedia contiene información básica y fundamental sobre los campos topológicos. ¿Responde a su pregunta? Si no es así, explique lo que aún desea saber.