Número máximo de plazas con el mismo número

Question

Dado un $1000\times 1000$ junta. Al principio, todas las células tienen $0$ escrito en él. En una operación, se nos permite elegir cualquier $130\times 130$ subboard y aumentar el número de todos en este subboard por $1$. Podemos realizar esta operación tantas veces como queramos. ¿Cuál es el máximo número de células con el mismo (no-cero) número?

Podemos elegir que no se superponen $130\times 130$ subboards para cubrir una $910\times 910$ subboard, produciendo $910^2$ plazas con el mismo número, $1$. Es este óptimo, o podemos hacer mejor?

[Fuente: Basado en la competencia rusa problema]

Answer 1

[Esto no es una solución.]

Deje que las células se $(i,j)$, donde cada una de las coordenadas que se extiende desde 1 a 1000. $(1,1)$ está en la esquina superior izquierda.

Podemos definir cada uno de los 130 130 sub junta por su parte superior izquierda de la célula. Tenemos $(1000-130+1)^2 $ juntas de las tablas, se define por $ ( i, j)$, donde cada una de las coordenadas que se extiende desde el 1 de 871.

Lanzamos las siguientes tablas:

49 tablas de la forma $ ( 130 i + 1, 130 j + 1)$,
7 consejos de la forma $ ( 871, 130j + 1)$,
7 consejos de la forma $(130i+1, 871)$,
1 junta de la forma $(871, 871)$.

Entonces, la mayoría de las células son 1, excepto las de la forma
1) $ (i, j)$ donde $ 871 \leq i \leq 910$ $j$ es nada.
2) $(i,j)$ donde $i$ es cualquier cosa y $ 871 \leq i \leq 910$.

Esto nos da la igualdad de las células para $ 1000^2 - 40 \times 1000 - 40 \times 1000 + 40^2 = 921600.$