Orden de un grupo de permutación

Question

Estoy jugando con un grupo de permutación, con generadores $(1,2,3)(6,5,4)$ y $(2,5,7)(8,6,3)$ en notación de ciclo. Tras un cuidadoso recuento, creo que su orden es 24. Pero no tengo ningún método real, excepto calcular los productos hasta agotar todas las posibilidades.

¿Existe un método general para calcular el orden de un grupo de permutación, que pueda aplicar aquí?

Answer 1

Existe un algoritmo informático general para estos cálculos (Schreier-Sims), pero es tedioso hacerlo a mano.

Siguiendo con los cálculos de DonAntonio, puedes notar que $(ab)^2 = (1,4)(3,5)(2,6)(7,8)$ se desplaza con ambos $a$ y $b$ por lo que el subgrupo $H = \langle (ab)^2 \rangle$ de $G$ tiene orden 2 y está en el centro de $G$ .

Ahora, si dejamos que $\overline{a}$ y $\overline{b}$ sean las imágenes $aH$ y $bH$ de $a,b$ en el grupo cociente $G/H$ tenemos $\overline{a}^3 = \overline{b}^3 = (\overline{ab})^2 = 1$ .

Así que, $G/H$ es un grupo cociente del grupo $\langle x,y \mid x^3=y^3=(xy)^2=1 \rangle$ que se sabe que es una presentación del grupo alterno $A_4$ de orden 12. Así que tenemos $|G/H| \le 12$ y por lo tanto $|G| \le 24$ .

Answer 2

El método general para calcular el orden de un grupo de permutación implica el llamado Algoritmo de Schreier-Sims y supone el cálculo de la llamada Base y Grupo electrógeno fuerte . Es un procedimiento bastante complicado que se realiza mejor con un ordenador. En pocas palabras, y en su caso, se reduce a las siguientes observaciones:

• El único elemento de su grupo que fija los puntos 1 y 2 al mismo tiempo es la identidad. Esa es la base.
• El estabilizador puntual de 1 está generado por $(2 5 7)(8 6 3)$ y tiene el orden tres.
• El índice del estabilizador puntual de 1 tiene el índice 8 en el grupo completo (no estoy seguro de cómo explicarlo bien, y cómo se puede averiguar eso, ya que soy bastante nuevo en estas cosas también).

Así que: sí, hay un procedimiento que es mucho más rápido que enumerar todos los productos posibles, pero probablemente necesitarás o bien la fuerza bruta (¡el tamaño de 24 es correcto, por cierto!) o bien algunas observaciones inteligentes (como las que proporcionaron DonAntonio y Derek Holt).

Answer 3

No creo que haya un método general para todos los casos, sino que se trabaja cada uno por separado. Pongamos

$$a:=(123)(465)\;,\;\;b:=(257)(386)$$

Entonces tenemos claramente que $\,G:=\langle\,a,b\,\rangle\le A_8\,$ y se mantienen las siguientes relaciones:

$$a^3=b^3=1\;,\;\;ab=(1246)(3857)\neq(1543)(2867)=ba$$

y por tanto el grupo es no abeliano, y además

$$a^{-1}ba=(167)(284)$$

$$b^{-1}ab=(176)(248)$$

Así pues, ya tenemos cuatro elementos de orden $\,3\,$ , cada uno de los cuales genera un subgrupo de $\,G\,$ de la orden tres. SI $\,|G|=24=2^3\cdot 3\,$ entonces el número de Sylow $\,3-$ subgrupos es uno o cuatro, por lo que si hay un elemento más de orden $\,3\,$ que es no una potencia de cualquiera de los elementos anteriores entonces no puede ser $\,|G|=24\,$ por ejemplo.

Intenta continuar desde aquí con otras ideas.