Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo y $K$ un campo de ampliación de $k$. Supongamos $A$ es un finitely generadas $k$-álgebra que es un dominio. A continuación, tenemos una natural mapa de $A \rightarrow A \otimes _ k K $. Ahora si $\mathfrak p$ es un alojamiento ideal en $A \otimes _ k K $ que contrata a un alojamiento ideal $\mathfrak q $$A$, entonces es posible demostrar que $ (A \otimes _ k K)_ \mathfrak p$ es isomorfo a $ A_ \mathfrak q \otimes _ k K$? Si es así ¿alguien puede que me haga saber cómo demostrarlo?
Respuesta
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Un caso especial es $\mathfrak{p}=0$, por lo tanto $\mathfrak{q}=0$. Entonces la pregunta es si $Q(A \otimes_k K) \cong Q(A) \otimes_k K$ mantiene. Pero esto ya no funciona para $A=k[x]$ $K \neq k$ (esto implica que $K/k$ es trancendental desde $k$ se supone que para ser algebraicamente cerrado), porque aquí $Q(A) \otimes_k K$, no es un campo:
Hecho. Si $k$ es cualquier campo y $K/k$ es una extensión de campo, entonces la integral de dominio $k(x) \otimes_k K$ es un campo iff $K/k$ es algebraico.
Prueba. Si $K/k$ es algebraica, a continuación, $k(x) \otimes_k K$ es una parte integral del anillo de la extensión de $k(x)$, que es un campo, y por lo tanto también un campo. Por el contrario, asumir que $k(x) \otimes_k K = (k[x] \setminus \{0\})^{-1} K[x]$ es un campo y tomar algún elemento $t \in K$. A continuación, $\frac{1}{x-t} = \frac{p}{q}$ algunos $p \in K[x]$$q \in k[x] \setminus \{0\}$, es decir,$q=p \cdot (x-t)$. De ello se desprende que $q(t)=0$ y, por tanto, $t$ es algebraico. $\square$
