$$ \lim_{(x,y)\a(0,0)} \frac {e^{x+y^2}-1-\sin \left ( x + \frac{y^2}{2} \right )}{x^2+y^2} $$
Tengo un par de dudas acerca de este límite. Quiero decir, si puedo tomar coordenadas polares, me sale que el límite no existe. Y Wolfram está de acuerdo conmigo. Aunque, he encontrado una solución a este problema que no dicen lo mismo; que transcribo a continuación:
· El de Taylor de segundo orden de polinomio de $ e^{x+y^2} $$ (0,0) $$ 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + y^2 $.
· El de Taylor de segundo orden de polinomio de $ \sin \left ( x + \frac{y^2}{2} \right ) $$ (0,0) $$ x + \frac{1}{2}y^2 $.
Entonces:
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac {e^{x+y^2}-1-\sin \left ( x + \frac{y^2}{2} \right )}{x^2+y^2} = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac {1 + x + \frac{1}{2}x^2 + y^2-1-(x + \frac{1}{2}y^2)}{x^2+y^2} = \frac {1}{2} $$
¿Dónde está el error en esto?
Lo que yo he probado hasta ahora:
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac {e^{x+y^2}-1-\sin \left ( x + \frac{y^2}{2} \right )}{x^2+y^2} $$
Vamos a ser$ \rho \geq 0 $$ \varphi \in [0,2\pi) $, así:
$$ \left\{\begin{matrix} x = \rho\cos(\varphi)\\ y = \rho\sin(\varphi) \end{de la matriz}\right. $$
Entonces:
$$ \begin{align*} \lim_{\rho\to 0} \frac {e^{\rho\cos(\varphi)+(\rho\sin(\varphi))^2}-1-\sin \left ( \rho\cos(\varphi) + \frac{(\rho\sin(\varphi))^2}{2} \right )}{(\rho\cos(\varphi))^2+(\rho\sin(\varphi))^2} &= \lim_{\rho\to 0} \frac {\rho\cos(\varphi)+(\rho\sin(\varphi))^2-\left ( \rho\cos(\varphi) + \frac{(\rho\sin(\varphi))^2}{2} \right )}{(\rho\cos(\varphi))^2+(\rho\sin(\varphi))^2} \\ &= \lim_{\rho\to 0} \frac {\rho\cos(\varphi)+(\rho\sin(\varphi))^2-\left ( \rho\cos(\varphi) + \frac{(\rho\sin(\varphi))^2}{2} \right )}{\rho^2} \\ &= \lim_{\rho\to 0} \frac {(\rho\sin(\varphi))^2- \frac{(\rho\sin(\varphi))^2}{2}}{\rho^2} \\ &= \lim_{\rho\to 0} \frac {1}{2}\sin^2(\varphi) \end{align*} $$
Que el límite no existe, porque el resultado depende de $ \varphi $ que varía en $ [0,2\pi) $.
Y aquí se puede ver que Wolfram está de acuerdo.
De acuerdo con un comentario más abajo, he calculado un tercer orden de polinomio de Taylor (respecto a$ \rho$)$ e^{\rho\cos(\varphi)+(\rho\sin(\varphi))^2} $. He encontrado que cualquier polinomio de Taylor (en $ \rho = 0 $) de orden mayor que 2 es exactamente $ 1+\rho\cos(\varphi)+(\rho\sin(\varphi))^2 $.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para$(x,y)$ cerca de$(0,0),$ tenemos
ps
Entonces el numerador de nuestra expresión es
ps
Dividiendo por$$e^{x+y^2} = 1 + (x+y^2) +(x+y^2)^2/2 + O((x+y^2)^3), \sin (x+y^2/2) = (x+y^2/2) +O((x+y^2/2)^3).$ obtenemos$$(y^2/2 + x^2/2) + xy^2 + y^4/2 + O((x+y^2)^3) + O((x+y^2/2)^3)= (y^2/2 + x^2/2) + r(x,y).$ Ahora$x^2 + y^2$ Te dejaré esto por ahora. Por lo tanto, el límite deseado es$1/2 + r(x,y)/(x^2+y^2).$
$\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}$ no es necesariamente lo mismo que$\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}$. ¿Que significa?
EDITAR: Es fácil tomar el límite a lo largo de las líneas$\lim_{(x,y)\to(0,0)}$ y$y=x$ sustituyendo$y=-x$ y tomando$y=x$.
EDITAR: obtengo$\lim_{x\to0}$ en estas líneas,$1/4$ a lo largo del eje$1/2$ y$y$ a lo largo del eje$\infty$.
La respuesta es que la función es discontinua en$x$ y tiene diferentes límites en diferentes direcciones.
