Evaluar $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx$

Question

Tengo que evaluar:

$$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx $$ No puedo obtener la respuesta correcta. Así que, por favor, ayúdenme.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\sin(\pi/2-x)=\cos x$ y $\cos(\pi/2-x)=\sin x$ . La respuesta aprovechará la simetría.

Divida la integral original en dos partes, (i) de $0$ a $\pi/4$ y (ii) de $\pi/4$ a $\pi/2$ . Así que nuestra primera integral es $$\int_{x=0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\,dx.\tag{$ 1 $} $$

Para la segunda integral, haz el cambio de variable $u=\pi/2-x$ . Utilizando el hecho de que $\sin x=\sin(\pi/2-u)=\cos u$ y $\cos x=\cos(\pi/2-u)=\sin u$ y el hecho de que $dx=-du$ que obtenemos después de no mucho trabajo $$\int_{u=\pi/4}^{0} -\frac{\sqrt{\cos u}}{\sqrt{\cos u}+\sqrt{\sin u}}\,du$$ Cambia la variable ficticia de integración por la variable nombre $x$ . Además, haz la integración en el orden "correcto", $0$ a $\pi/4$ . Esto cambia el signo, por lo que nuestra segunda integral es igual a $$\int_{x=0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}}\,dx.\tag{$ 2 $}$$ Nuestra integral original es la suma de las integrales $(1)$ y $(2)$ . Añade, y anota la hermosa cancelación $\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}+ \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}}=1$ . Así, nuestra integral original es igual a $$\int_0^{\pi/4}1\,dx.$$ Esto es trivial de calcular: la respuesta es $\pi/4$ .

Observación: Dejemos que $f(x)$ y $g(x)$ sean cualesquiera funciones razonablemente agradables tales que $g(x)=f(a-x)$ . Exactamente el mismo argumento muestra que $$\int_0^a\frac{f(x)}{f(x)+g(x)}\,dx=\frac{a}{2}.$$