Transformaciones infinitesimales para una partícula relativista

Question

La acción de una partícula libre relativista puede venir dada por $$S=\frac{1}{2}\int d\tau \left(e^{-1}(\tau)g_{\mu\nu}(X)X^\mu(\tau)X^\nu(\tau)-e(\tau)m^2\right).$$ Si entonces hacemos una transformación infinitesimal del parámetro de parametrización $\tau$ esto sería $$\tau\to\tau^\prime=\tau-\eta(\tau),$$ para un parámetro infinitesimal $\eta(\tau)$ .

Por supuesto que podemos describir el sistema como nos plazca para saber que $$X^{\mu^\prime}(\tau^\prime)=X^\mu(\tau).$$ De esta relación se desprende que $X^{\mu^\prime}(\tau)$ debe ser $$X^{\mu^\prime}(\tau) \approxeq X^{\mu^\prime}(\tau^\prime+\eta(\tau)) \approxeq X^{\mu^\prime}(\tau^\prime)+\eta(\tau)\frac{d X^{\mu^\prime}(\tau^\prime)}{d\tau^\prime} \approxeq X^{\mu}(\tau)+\eta(\tau)\frac{d X^{\mu}(\tau)}{d\tau}$$ Todo lo cual se puede resumir en $$\delta X^{\mu}(\tau)=X^{\mu^\prime}(\tau)-X^{\mu}(\tau)=\eta(\tau)\frac{d X^{\mu}(\tau)}{d\tau}.$$ Ahora todo está bien, espero. Pero si uno hace el mismo argumento para $e(\tau)$ uno se equivoca en la transformación. Es una función escalar por lo que tiene que obedecer $$e^\prime(\tau^\prime)=e(\tau).$$ Lo que daría la misma transformación.

La transformación correcta se escribe en Conferencias de David Tong sobre la teoría de cuerdas en la página 13, ecuación 1.10. La transformación es $$\delta e(\tau)=\frac{d}{d\tau}\left(\eta(\tau) e(\tau)\right).$$ ¿Podría alguien mostrarme cómo se hace esto y elaborar un poco sobre cómo se sabe cómo se transforman los diferentes objetos?

Answer 1

I) Imagen pasiva. El einbein $e$ no es un invariante sino que se transforma como

$$ e~=~e^{\prime} \frac{d\tau^{\prime}}{d\tau}\tag{1} $$

bajo una reparametrización del parámetro de la línea del mundo (WL)

$$ \tau\longrightarrow \tau^{\prime}=f(\tau).\tag{2} $$

En otras palabras, $\omega:= e \mathrm{d}\tau\in \Gamma(T^{\ast}I) $ es una forma única en la variedad WL unidimensional $I$ . La posición de la partícula

$$ x^{\mu}~=~x^{\prime \mu}\tag{3} $$

es invariante, mientras que la velocidad de la partícula se transforma como

$$ \dot{x}^{\mu}~=~\dot{x}^{\prime \mu}\frac{d\tau^{\prime}}{d\tau}.\tag{4}$$

Estas reglas de transformación (1)-(4) pueden verse de muchas maneras. Una de ellas es que la acción

$$ S~=~\int \! \mathrm{d}\tau ~L , \qquad L~:=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e m^2}{2},\tag{5}$$

debe ser invariable bajo reparametrizaciones (2). Véase también este post relacionado de Phys.SE.

II) Imagen activa. Desde el punto de vista de la variedad WL unidimensional $I$ la transformación infinitesimal $\delta$ puede, por ejemplo, codificarse mediante Derivados de la mentira ${\cal L}_Y$ wrt. un campo vectorial

$$ Y ~=~\eta \frac{d}{d\tau}~\in~ \Gamma(TI)\tag{6} $$

en la variedad WL unidimensional $I$ . Las derivadas de Lie son

$$ {\cal L}_Y x^{\mu}~=~Y[x^{\mu}]~=~\eta \frac{dx^{\mu}}{d\tau},\tag{7} $$

$$ ({\cal L}_Ye)\mathrm{d}\tau~:=~{\cal L}_Y\omega ~=~\{\mathrm{d}, i_Y\}\omega~=~\mathrm{d}i_Y\omega $$ $$ ~=~\mathrm{d}(i_Y\omega)~=~\mathrm{d}(\eta e) ~=~\mathrm{d}\tau\frac{d}{d\tau}(\eta e),\tag{8} $$

y por lo tanto

$$ {\cal L}_Ye ~\stackrel{(8)}{=}~\frac{d}{d\tau}(\eta e).\tag{9} $$

Las fórmulas (6), (7) y (9) corresponden a la ecuación (1.10) de la Ref. 1 $$ \tag{1.10} \tau\to \tilde{\tau}=\tau-\eta, \qquad \delta x^{\mu}~=~\eta\frac{d x^{\mu}}{d\tau}, \qquad \delta e ~=~\frac{d}{d\tau}(\eta e), $$ respectivamente.

III) Formulación clásica de la BV. Mencionemos para completar que la transformación gauge $\delta$ puede codificarse como una transformación BRST, véase, por ejemplo, la Ref. 2 y este Correo de Phys.SE. A grandes rasgos, el parámetro gauge de Grassmann-par $\eta$ se sustituye entonces por un fantasma de Grassmann-impar Faddeev-Popov (FP) $C$ . (En realidad, el parámetro gauge $\eta$ se sustituirá de forma más precisa por la combinación $e^{1-r}C$ , donde $r\in\mathbb{R}$ es una potencia, para ser más general, véase la ec. (16) más adelante). Para minimizar las apariciones de las derivadas temporales, en lugar de utilizar el lagrangiano (5), resulta un poco más sencillo partir del lagrangiano hamiltoniano

$$L_H~:=~ p_{\mu} \dot{x}^{\mu} - H, \qquad H~:=~ eT, \qquad T~:=~\frac{1}{2}(p^2+m^2), \qquad p^2~:=~ g^{\mu\nu}(x)~p_{\mu} p_{\nu}, \tag{11} $$

Véase, por ejemplo este Puesto de Phys.SE. Aquí utilizaremos el Formalismo Batalin-Vilkovisky (BV) , cf. Ref. 3. Los campos

$$ \phi^{\alpha} ~=~ \{ x^{\mu};~p_{\mu};~ e;~C;~ \bar{C};~B\} \tag{12}$$

son posiciones $x^{\mu}$ ; momentos $p_{\mu}$ ; einbein $e$ ; fantasma de FP $C$ ; FP antighost $\bar{C}$ y el multiplicador de Lagrange Lautrup-Nakanishi (LN) $B$ respectivamente. Son tensores WL de órdenes contravariantes $0$ ; $0$ ; $-1$ ; $r$ ; $1$ y $1$ respectivamente. Cada campo $\phi^{\alpha}$ tiene su correspondiente anti-campo $\phi^{\ast}_{\alpha}$ de paridad opuesta de Grassmann. La acción BV correspondiente $^1$

$$ S_{BV}~=~\int \! \mathrm{d}\tau ~L_{BV} , $$ $$ L_{BV}~=~L_H +\left(x^{\ast}_{\mu} \dot{x}^{\mu}+p_{\ast}^{\mu} \dot{p}_{\mu} +r C^{\ast}\dot{C} \right)e^{r-1}C +\underbrace{e^r C\dot{e}^{\ast}}_{\sim~e^{\ast}\frac{d}{d\tau}( e^r C)} + B \bar{C}^{\ast},\tag{13} $$

satisface la ecuación maestra clásica

$$ (S_{BV},S_{BV})~=~0, \tag{14}$$

con antibrazo $(\cdot,\cdot)$ en la forma de Darboux, es decir, las antibrazas fundamentales no nulas se leen

$$ (\phi^{\alpha}(\tau),\phi^{\ast}_{\beta}(\tau^{\prime})) ~=~\delta^{\alpha}_{\beta}~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}). \tag{15}$$

La transformación nilpotente BRST de Grassmann-impar ${\bf s}~=~(S_{BV},\cdot)$ lee

$${\bf s}x^{\mu}~=~e^{r-1} C \dot{x}^{\mu}, \qquad {\bf s}p_{\mu}~=~e^{r-1} C \dot{p}_{\mu}, \qquad {\bf s}e~=~ \frac{d}{d\tau}( e^r C), $$ $$ {\bf s}C~=~ re^{r-1} C\dot{C},\qquad {\bf s}\bar{C}~=~ - B,\qquad {\bf s}B ~=~0, \tag{16} $$

que debe compararse con la ec. (1.10). El fermión fijador de galgas BV $\psi$ se puede elegir en el formulario

$$ \psi ~:=~\int \! \mathrm{d}\tau~\bar{C}\left(\frac{\xi}{2}B +\chi(e) +\epsilon \dot{e}\right), \tag{17} $$ donde $\xi,\epsilon\in\mathbb{R}$ son parámetros de fijación de gálibo. Además, $\chi(e)=(e\!-\!e_0)\chi^{\prime}$ es una condición de fijación de galgas (que supondremos es afín en $e$ para que la derivada $\chi^{\prime}$ es constante). El lagrangiano fijado por el gauge se convierte en

$$ L_{\rm gf}~=~ \left. L_{BV} \right|_{\phi^{\ast}~=~\frac{\delta \psi}{\delta \phi}}~=~ L_H + \overbrace{\underbrace{\left(\chi^{\prime}\bar{C}-\epsilon\dot{\bar{C}}\right) \frac{d}{d\tau}(e^r C)}_{ \sim~ \bar{C} \left(\frac{\chi^{\prime}}{2}+\epsilon\frac{d}{d\tau}\right)\frac{d}{d\tau}(e^r C) + e^r C\left(\frac{\chi^{\prime}}{2}-\epsilon\frac{d}{d\tau}\right)\frac{d}{d\tau}\bar{C} }}^{\text{Faddeev-Popov term}} + \overbrace{B \left(\frac{\xi}{2}B +\chi(e) +\epsilon \dot{e}\right)}^{\text{gauge-fixing term}} , \tag{18} $$

donde el $\sim$ significa la igualdad hasta los términos de la derivada temporal total. Las cantidades físicas no dependen de la elección del fermión fijador de galgas $\psi$ siempre que se cumplan ciertas condiciones de rango.

IV) Ecuación maestra cuántica. El impar Laplaciano

$$ \Delta~=~(-1)^{|\alpha|}\int\! \mathrm{d}\tau~ \frac{\delta_L}{\delta\phi^{\alpha}(\tau)} \frac{\delta_L}{\delta\phi^{\ast}_{\alpha}(\tau)} ~=~(-1)^{|\alpha|}\iint\! \mathrm{d}\tau~\mathrm{d}\tau^{\prime}~ \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime})\frac{\delta_L}{\delta\phi^{\alpha}(\tau)} \frac{\delta_L}{\delta\phi^{\ast}_{\alpha}(\tau^{\prime})} \tag{19} $$

es un objeto singular, que estrictamente necesita ser regularizado. Calculamos formalmente

$$ \Delta S_{BV}~\stackrel{(13)+(19)}{=}~ 2(n\!-\!r)\iint\! \mathrm{d}\tau~\mathrm{d}\tau^{\prime}~ e(\tau)^{r-1}C(\tau)~ \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}) \frac{d}{d\tau}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}) $$ $$+r \iint\! \mathrm{d}\tau~\mathrm{d}\tau^{\prime}~ e(\tau)^{r-1}\dot{C}(\tau)~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime})^2~\neq~0, \tag{20} $$ donde $n$ es la dimensión del espacio objetivo (TS). Esto muestra que la acción BV (13) no satisface la ecuación maestra cuántica; sólo la ecuación maestra clásica. Discutiremos las modificaciones apropiadas de la acción BV (13) en la Sección VII.

V) Formulación clásica de BFV. Identificamos $p_e\approx\epsilon B$ con el momento canónico del einbein $e$ e identificamos el anti-campo $e^{\ast}\equiv \bar{P}$ con el momento fantasma de FP. Introducir un corchete de Poisson ultralocal $\{\cdot,\cdot\}_{PB}$ con los siguientes pares canónicos

$$ \{x^{\mu}(\tau), p_{\nu}(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\delta^{\mu}_{\nu}~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \qquad \{e(\tau)^rC(\tau), \bar{P}(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), $$ $$ \{e(\tau), B (\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\frac{1}{\epsilon}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \qquad \{\bar{C}(\tau), P(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\frac{1}{\epsilon}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}).\tag{21} $$

Obsérvese la forma no-Darboux

$$ \{C(\tau), \bar{P}(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~e(\tau)^{-r}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \qquad \{ B (\tau), C(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\frac{r}{\epsilon} \frac{C(\tau)}{e(\tau)} \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \tag{22} $$

para garantizar que

$$ \{e(\tau)^r C(\tau), B(\tau^{\prime})\}_{PB}~=~0. \tag{23} $$

La transformación BRST ${\bf s}~=~\{\mathbb{Q},\cdot\}_{PB}$ (que es independiente del $\epsilon$ -parámetro) se lee

$${\bf s}x^{\mu}~=~e^r C g^{\mu\nu}(x)p_{\nu} ~\approx~ e^{r-1} C \dot{x}^{\mu}, \qquad {\bf s}p_{\mu} ~=~ -\frac{1}{2}e^r C \partial_{\mu}g^{\nu\lambda}(x)~p_{\nu}p_{\lambda} ~\approx~ e^{r-1} C \dot{p}_{\mu}, $$ $${\bf s}e~=~P~\approx~ \frac{d}{d\tau}( e^r C) , \qquad {\bf s}C~=~r\frac{C}{e}P ~\approx~ re^{r-1} C\dot{C},\qquad {\bf s}\bar{C}~=~ - B,\qquad {\bf s} B ~=~0, \tag{24} $$

que debe compararse con la ec. (16). Aquí el $\approx$ significa la igualdad de las ecuaciones de movimiento. La transformación BRST (24) se genera mediante

$$ \mathbb{Q}~:=~ \int \! \mathrm{d}\tau ~Q, \qquad \{\mathbb{Q}, \mathbb{Q}\}_{PB}~=~0,\tag{25}$$

donde

$$ -Q~:=~T e^r C + \epsilon B P ~\approx~ T e^r C + \epsilon B \frac{d}{d\tau}( e^r C)\tag{26}$$

es la carga del BRST. La acción BFV se convierte en

$$ S_{BFV} ~=~ \int \! \mathrm{d}\tau~\left(\dot{x}^{\mu}p_{\mu}+e^r C\dot{\bar{P}} \right) -\left\{ \psi, \mathbb{Q} \right\}_{PB} ~=~ \int \! \mathrm{d}\tau ~L_{BFV} , \tag{27} $$

donde el fermión fijador de galgas BFV $\psi$ es

$$ \psi ~:=~\int \! \mathrm{d}\tau \left(\bar{C} \left(\frac{\xi}{2}B +\chi(e) +\epsilon \dot{e}\right) -\bar{P}e\right),\tag{28} $$

y donde la lagrangiana BFV dice $^2$

$$ L_{BFV}~=~\left(p_{\mu}\dot{x}^{\mu}+ e^r C\dot{\bar{P}} \right) + \epsilon\left( B \dot{e} + \bar{C} \dot{P}\right) + \left(-eT +\bar{C}\chi^{\prime} P +B \left(\frac{\xi}{2}B+\chi(e)\right) -\bar{P}P \right)$$ $$ ~\sim~ L_H+ \underbrace{\epsilon\left( B \dot{e} + \bar{C} \dot{P}\right)}_{\text{kinetic term}}+ \bar{P}\left( \frac{d}{d\tau}( e^r C)-P\right) + \underbrace{\bar{C} \chi^{\prime} P}_{\text{FP term}} + \underbrace{B \left(\frac{\xi}{2}B+\chi(e)\right)}_{\text{gauge-fixing term}} \tag{29} .$$

VI) Soporte de Dirac. Integremos los dos momentos FP $P$ y $\bar{P}$ . Entonces la lagrangiana BFV (29) se convierte en la lagrangiana gauge-fixed (18) de la Sección III. Los correspondientes dos Restricciones de segunda clase

$$ \Theta~:=~ P - \frac{d}{d\tau}( e^r C)~\approx~0, \qquad \bar{\Theta}~:=~ \bar{P} - \chi^{\prime} \bar{C}+\epsilon\dot{\bar{C}}~\approx~0,\tag{30} $$

tiene un corchete de Poisson no nulo

$$ \Delta(\tau,\tau^{\prime} ) ~:=~ \{\Theta(\tau), \bar{\Theta}(\tau^{\prime}) \}_{PB} ~=~ -\left(\frac{\chi^{\prime}}{\epsilon}+2\frac{d}{d\tau} \right) \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}),\tag{31} $$

con el inverso

$$ \Delta^{-1}(\tau,\tau^{\prime} ) ~=~ - \frac{1}{4} \exp\left[\frac{(\tau^{\prime}-\tau)\chi^{\prime}}{2\epsilon}\right] {\rm sgn}(\tau\!-\!\tau^{\prime}).\tag{32} $$

Por lo tanto, el Soporte de Dirac se convierte en

$$ \{e(\tau)^rC(\tau), \bar{C}(\tau^{\prime})\}_{DB} ~=~ \frac{1}{4\epsilon} \exp\left[\frac{(\tau^{\prime}-\tau)\chi^{\prime}}{2\epsilon}\right] {\rm sgn}(\tau\!-\!\tau^{\prime}).\tag{33} $$

Alternativamente, la estructura de Poisson (33) podría deducirse del término FP en la lagrangiana gauge-fijada (18).

Obsérvese la forma no-Darboux

$$ \{C(\tau), \bar{C}(\tau^{\prime})\}_{DB} ~=~\frac{e(\tau)^{-r}}{4\epsilon} \exp\left[\frac{(\tau^{\prime}-\tau)\chi^{\prime}}{2\epsilon}\right] {\rm sgn}(\tau\!-\!\tau^{\prime}) , $$ $$ \{ B (\tau), C(\tau^{\prime})\}_{DB} ~=~\frac{r}{\epsilon} \frac{C(\tau)}{e(\tau)} \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \tag{34}$$

para garantizar que

$$ \{e(\tau)^r C(\tau), B(\tau^{\prime})\}_{DB}~=~0.\tag{35} $$

VII) Formulación de Quantum BV. Las ecuaciones (20), (22) y (34) sugieren que debemos poner $r=0$ Así que hagamos esto a partir de ahora. Inspirándonos en las transformaciones BFV-BRST (24), modificamos el Lagrangiano BV (13) en

$$ \tilde{L}_{BV}~=~L_H +x^{\ast}_{\mu} g^{\mu\nu}(x)p_{\nu}C -\frac{1}{2}p_{\ast}^{\mu} \partial_{\mu}g^{\nu\lambda}(x)~p_{\nu}p_{\lambda} C +e^{\ast}\dot{C} + B \bar{C}^{\ast}. \tag{36} $$

Se puede demostrar que la ecuación maestra cuántica se satisface ahora $^1$

$$ (\tilde{S}_{BV}, \tilde{S}_{BV})~=~0~=~\Delta\tilde{S}_{BV}. \tag{37} $$

La modificación (36) no altera la lagrangiana (18) fijada por el gauge, aparte de poner $r=0$ .

Referencias:

1. David Tong, Conferencias sobre la teoría de las cuerdas, arXiv:0908.0333 .

2. J. Polchinski, Teoría de las cuerdas, Vol. 1, 1998; Sección 4.2.

3. M. Henneaux y C. Teitelboim, Cuantización de sistemas gauge, 1994; Capítulo 17.

--

$^1$ Ignoramos los términos de frontera. En efecto, esto significa que imponemos las condiciones de contorno pertinentes y limitamos la simetría gauge a la masa.

$^2$ El $\epsilon$ -en la acción BFV (27) proviene únicamente del fermión de fijación de galgas (28). El $\epsilon$ -la dependencia puede eliminarse mediante la redefinición

$$ \epsilon B~\longrightarrow~ B, \qquad \epsilon\bar{C}~\longrightarrow~ \bar{C}, \qquad \frac{\chi}{\epsilon} ~\longrightarrow~ \chi, \qquad \frac{\xi}{\epsilon^2} ~\longrightarrow~ \xi .\tag{38} $$

En el límite $\epsilon\to 0$ los infinitos en el lado derecho de los paréntesis de Poisson (21) deben interpretarse como cero, es decir, las variables canónicas correspondientes se desacoplan.