Estoy estudiando las acciones de Banach-Mentira grupos de Banach colectores, y yo no soy capaz concretamente evaluar la la diferenciabilidad de las propiedades de una acción específica.
Deje $\mathcal{A}$ ser un unital $C^{*}$-álgebra, y $\mathcal{A}^{*}$ su dual topológico, que es un complejo espacio de Banach con la norma:
$$ \left|\left|\omega\right|\right|:=\sup\left\{|\omega(\mathbf{A})|\,;\mathbf{A}\in\mathcal{A}\colon||\mathbf{A}||=1\right\} $$ Nos deja denotar con $\mathcal{G}(\mathcal{A})$ el conjunto de todos los invertible elementos en $\mathcal{A}$. Este conjunto es una de Banach-Mentira grupo con respecto a la operación de multiplicación heredado de $\mathcal{A}$. Este grupo, naturalmente, actúa en $\mathcal{A}$ como sigue:
$$ \mathbf{A}\mapsto c_{\mathbf{G}}(\mathbf{A}):=\mathbf{G}\,\mathbf{A}\,\mathbf{G}^{\daga}\,. $$ Por medio de esta acción, una acción en $\mathcal{A}^{*}$, se obtiene:
$$ \omega\mapsto \alpha_{\mathbf{G}}(\omega) $$ $$ \left(\alpha_{\mathbf{G}}(\omega)\right)(\mathbf{A}):=\omega\left(c_{\mathbf{G}}(\mathbf{A})\right)=\omega\left(\mathbf{G}\,\mathbf{A}\,\mathbf{G}^{\dagger}\right)\,. $$ Es fácil ver que esta acción es lineal y conserva hermiticity.
Estoy interesado en la diferenciabilidad de las propiedades de esta acción. Por definición, la acción es diferenciable si el mapa:
$$ \mathcal{G}(\mathcal{A})\times\mathcal{A}^{*}\rightarrow\mathcal{A}^{*} $$ $$ (\mathbf{G}\,;\omega)\mapsto \alpha_{G}\omega $$ es diferenciable. Sé que la definición abstracta de la diferenciabilidad (Frechet derivado) de un mapa entre Banach colectores, sin embargo, no sé cómo, concretamente, de proceder a investigar el tema. Específicamente, un mapa de $f:V\rightarrow W$ entre el espacio de Banach es diferenciable en a $x_{0}\in V$ si, para todos los $\epsilon>0$ existe $\delta_{\epsilon}>0$ y un almacén lineal mapa de $Df_{x_{0}}:V\rightarrow W$ tal forma que:
$$ ||f(x-x_{0}) - f(x_{0}) - Df_{x_{0}}(x-x_{0})||<\epsilon $$ siempre que $||x-x_{0}||<\delta_{\epsilon}$.
Desde $\mathcal{G}(\mathcal{A})$ es sólo una de Banach colector, necesito un sistema de coordenadas con el fin de utilizar la definición de Frechet de derivados, y no sé qué tipo de sistema de coordenadas que debo usar. Además, incluso si sabía que iba a tener una "conjetura" de la explícita cara de la derivada $Df_{x_{0}}$ realmente calcular el límite en la definición de la Frechet derivados.
Hay otros, más inteligentes maneras de proceder?
Gracias de antemano.
EDITAR
Con un poco de esfuerzo, pude comprobar que el lineal mapa de $\alpha_{\mathbf{G}}:\mathcal{A}^{*}\rightarrow\mathcal{A}^{*}$ es acotado, y por lo tanto continua, para todos los $\mathbf{G}\in\mathcal{G}(\mathcal{A})$. Esto significa que $\alpha_{\mathbf{G}}$ es analítica para todos los $\mathbf{G}$ (es un continuo de 1 polinomio homogéneo), pero no sé si es de cierta relevancia.
EDIT 2
De acuerdo con Andreas Tapa de la respuesta, he intentado averiguar los detalles sin necesidad de utilizar el $t$ parámetro.
Deje $U_{\mathbf{G}}\subset\mathcal{G}(\mathcal{A})$ ser un barrio de $\mathbf{G}$ tal que $\mathbf{G}+\mathbf{H}\in U$ todos los $\mathbf{H}\in U$. Entonces podemos escribir:
$$ \alpha(\mathbf{G}+\mathbf{H}\,;\omega + \tau)(\mathbf{A}) - \alpha(\mathbf{G}\,;\omega)(\mathbf{A})=\omega(\mathbf{G}\mathbf{A}\mathbf{H}^{\daga} + \mathbf{H}\mathbf{A}\mathbf{G}^{\daga}) + \omega(\mathbf{H}\mathbf{A}\mathbf{H}^{\daga}) + \tau(\mathbf{H}\mathbf{A}\mathbf{H}^{\daga}) + \tau(\mathbf{G}\mathbf{A}\mathbf{G}^{\daga}) $$ El lineal funcional introducido por Andreas Tapa es:
$$ D\alpha_{\mathbf{G}\,;\omega}(\mathbf{H}\,;\tau)(\mathbf{A})=\omega(\mathbf{G}\mathbf{A}\mathbf{H}^{\dagger} + \mathbf{H}\mathbf{A}\mathbf{G}^{\daga}) + \tau(\mathbf{G}\mathbf{A}\mathbf{G}^{\daga}) $$ y por lo tanto:
$$ \alpha(\mathbf{G}+\mathbf{H}\,;\omega + \tau)(\mathbf{A}) - \alpha(\mathbf{G}\,;\omega)(\mathbf{A}) - D\alpha_{\mathbf{G}\,;\omega}(\mathbf{H}\,;\tau)(\mathbf{A})= \tau(\mathbf{G}\mathbf{A}\mathbf{H}^{\daga} + \mathbf{H}\mathbf{A}\mathbf{G}^{\daga})+ (\omega+\tau)(\mathbf{H}\mathbf{A}\mathbf{H}^{\daga}) $$ Llamamos a este funcional $\gamma$. La norma de $\gamma$ es:
$$ ||\gamma||=\sup_{\mathbf{A}\neq\mathbf{0}}\frac{|\gamma(\mathbf{A})|}{||\mathbf{A}||} $$ Entonces:
$$ |\gamma(\mathbf{A})|\leq|\tau(\mathbf{G}\mathbf{A}\mathbf{H}^{\daga} + \mathbf{H}\mathbf{A}\mathbf{G}^{\daga})| + |(\omega+\tau)(\mathbf{H}\mathbf{A}\mathbf{H}^{\daga})|\leq $$ $$ \leq2||\tau||\,||\mathbf{G}||\,||\mathbf{A}||\,||\mathbf{H}|| + ||\omega||\,||\mathbf{H}||^{2}\,||\mathbf{A}|| + ||\tau||\,||\mathbf{H}||^{2} \,||\mathbf{A}|| $$ lo que significa:
$$ ||\gamma||=2||\tau||\,||\mathbf{G}||\,||\mathbf{H}|| + ||\omega||\,||\mathbf{H}||^{2} + ||\tau||\,||\mathbf{H}||^{2} $$ La acción $\alpha$ es diferenciable en a $(\mathbf{G}\,;\omega)$ si, para todos los $\epsilon>0$ existe $\delta_{\epsilon}>0$ tal forma que:
$$ \frac{||\gamma||}{||(\mathbf{H}\,;\tau)||}<\epsilon $$ siempre que $||(\mathbf{H}\,;\tau)||<\delta_{\epsilon}$. Sin embargo, tenemos:
$$ \frac{||\gamma||}{||(\mathbf{H}\,;\tau)||}=\frac{2||\tau||\,||\mathbf{G}||\,||\mathbf{H}|| + ||\omega||\,||\mathbf{H}||^{2} + ||\tau||\,||\mathbf{H}||^{2}}{||\mathbf{H}|| +||\tau||} $$ y no estoy seguro de que esto es menos de $\epsilon$.
