Crea límites y preservar los límites de

Question

Si hemos dado que U es un functor $ D \to C $ crea límites y C es Completa. y vamos a demostrar que D es completa y U preserva límites.

Tengo que seguir en este camino

Como sabemos que U es un functor $ D \to C $ crea límites si y sólo si U refleja los límites de lo que significa que todos los diagramas D $ I \to D $ y todos los conos ($ q_X $ : $ A \to DX )$ donde $X \in I$ D. si $ Uq_X : UA \to UDX $ es un límite de cono en D. Esto implica que UD tiene un límite en C, por lo tanto C tiene todos los límites. así es completa.

Sin embargo, no entiendo cómo podemos probar que D es completa mediante el uso de esta definición, si satisface la anterior.

Answer 1

Si $D$ es un diagrama en $\cal D$, $UD$ es un diagrama en $\cal C$. Por integridad, hay una limitación de cono $(a,\ \alpha_k:a\to UDk)_{k\in J}$. Ahora $U$ crea límites, así que no hay un único cono $(b,\ \beta_k:b\to Dk)_{k\in J}$, de tal manera que $Ub=a$$U\beta_k=\alpha_k$, y este cono es una limitación de cono en $\cal D$. Esto demuestra que $\cal D$ es completa.
Si $(b',\ \beta'_k:b'\to Dk)_{k\in J}$ es otra limitación de cono sobre $D$, entonces no es un isomorfismo $f:b\to b'$ tal que $β'_kf=β_k$. Pero, a continuación, $Uf$ es un isomorfismo $a\to Ub'$ tal que $Uβ'_k\circ Uf=α_k$, lo que significa que $(Ub', Uβ'_k:Ub'\to UDk)_{k\in J}$ es también una limitación de cono sobre $UD$.

Answer 2

La declaración de $U \colon \mathbf D \to \mathbf C$ crear límites significa que por cada functor/diagrama de $F \colon \mathbf J \to \mathbf D$ por cada límite de cono $\langle \tau_j \colon d \to U \circ F(j)\rangle_{j \in \mathbf J}$ hay un único límite de cono $\langle \sigma_j \colon c \to F(j)\rangle_{j \in \mathbf J}$ tal que $U(\sigma_j)=\tau_j$ por cada $j \in \mathbf J$.

Si $\mathbf C$ (supongo que te refieres a los pequeños completa) a continuación, para cada categoría (pequeño) $\mathbf J$ y functor $F' \colon \mathbf J \to \mathbf C$ tenemos un límite de cono $\langle \tau_j \colon d \to F'(j)\rangle_{j \in \mathbf J}$.

Este en particular implica que para cada functor $F \colon \mathbf J \to \mathbf D$ el functor $U \circ F \colon \mathbf J \to \mathbf C$ tiene un límite de cono $\langle \tau_j \colon d \to U\circ F(j)\rangle_{j \in \mathbf J}$. Por la propiedad de $U$ de la creación de límite no deben existe también un límite de cono $\langle \sigma_j \colon c \to F(j)\rangle_{j \in \mathbf J}$ lo $F$ tiene un límite en $\mathbf D$.

Para demostrar que $U$ preservar los límites vamos a suponer que $\langle \sigma_j \colon c \to F(j)\rangle_{j \in \mathbf J}$ es un límite de cono en $\mathbf C$$F$.

Si $\langle \tau_j \colon d \to U\circ F(j)\rangle_{j \in \mathbf J}$ límite de cono para $U \circ F$, por lo que hemos visto anteriormente no $\langle \sigma'_j \colon c' \to F(j)\rangle_{j \in \mathbf J}$ que es un límite para $F$. Pero dado que también se $\sigma$ fue un límite de cono para $F$ no debe ser un isomorfismo $i \colon c \to c'$ $\mathbf C$ que es un isomorfismo de conos $f \colon \sigma \to \sigma'$ (es decir, por cada $j \in \mathbf J$ tenemos que $\sigma'_j \circ i = \sigma_j$). $U(i)$ debe todavía es un isomorfismo entre los conos $U(\sigma_j)$$U(\sigma')=\tau$, y desde $\tau$ fue un límite de cono, a continuación, también se $U(\sigma)$ es un límite de cono para $U \circ F$. Por lo $U$ preservar límites.

Espero que esto ayude.