El Laplaciano no acaba de reducir a cero. Tiene singularidades, que usted debe estar atento a cualquiera de los cargos o de otras fuentes del campo en la singular, en este caso de la rama) puntos.
Recordar que:
$$\arctan\left(\frac{1+x}{y}\right)=\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{1+x}{y}\right)=-\mathrm{Im}\log\left(\frac{1+z}{i}\right)$$
$$\arctan\left(\frac{1+x}{y}\right)=\mathrm{Im}\log(i(1-z))$$
donde $z=x+i\,y$. En 2D, el potencial de una línea de carga en el origen varía como $\log r$. Así que esto parece más el potencial de cargo de dos líneas en $z=\pm1$. Pero cuidado: tenemos una $\mathrm{Im}$ fuera de la parte delantera, por lo que usted está buscando en el conjugado armónico a la posibilidad de que tal distribución. Así que usted está después de la distribución de cuyas líneas de campo son las mismas que las líneas equipotenciales para la distribución de carga que acabamos de mencionar, y cuyas líneas equipotenciales son las mismas que las líneas de campo de este último.
Puede haber otras formas de hacerlo, pero, por desgracia, tan pronto como me ve $\arctan(y/x)$-como las estructuras, veo la imaginaria de la función logaritmo, así que me voy a bajar ese pensamiento ruta de acceso antes de que incluso llegué a su profe de la pista.
Ok, ya que es la armónica conjugada, una forma de resolver esto sería encontrar otro armónica conjugada con la de Cauchy-Riemann ecuaciones y el uso que con la ecuación de Poisson?
No, no del todo. También, incluso si este fuera el enfoque correcto, usted tendría el mismo problema: el Laplaciano es nada fuera de las singularidades. Que método te de $\mathrm{Re}(\log(z−1)−\log(z+1))$, que es el potencial debido a dos opuestos de la línea de los cargos a ±1. También, no use el CR ecuaciones incluso si este fuera el enfoque correcto: tienes de forma gratuita en el conjugado armónico es, simplemente,$\mathrm{Re}(\log(x+i y−1)−\log(x+i y+1))$!
Tienes el conjugado armónico de este. Creo que esta pregunta es muy difícil: tienes un potencial con la circulación, por lo que se puede interpretar su potencial como el potencial escalar por un magnetostatic campo derivadas de dos opuestos de la línea de las corrientes, o se trata de un campo eléctrico con la circulación. El último puede surgir a partir de dos campos magnéticos variables (lo suficientemente lento como para que usted puede pensar en el campo magnético estático) normal a la página y se concentró en dos infinitamente delgada magnética cables en $z=±1$. Mira cómo el potencial varía alrededor de decir $(x,y)=(1,0)$. Si usted mira un pequeño círculo cerrado alrededor de uno de estos caminos, el potencial que muestra el comportamiento de ramificación.
Veo, eso es una muy interesante discusión con los campos magnéticos. Una cosa más, ¿cómo llegaste a la conclusión de que el potencial que tiene la circulación? Para resumir su respuesta, y si he entendido correctamente, tanto el punto cargos en la rama de corte de la parte imaginaria del potencial, por lo tanto deshacerse de las singularidades que surgen a causa de ella. De esa manera, no la distribución de carga se producen este tipo de potencial.
No, los puntos de ramificación son singularidades, que se detenga por completo. Además, no estaba muy en lo cierto al afirmar que la carga de distribuciones no pueden producir este campo; un extraño, singular, uno puede, es decir, una línea de dipolos. Vamos parcela de cosas para ver el comportamiento de ramificación; aquí me he acercado hasta la región alrededor del punto de $(-1,0)$:
![Branch Point]()
así que usted puede ver claramente la rama de corte; el potencial a lo largo de un círculo alrededor del punto de saltos por $\Delta V=2\,\pi$ a medida que pasa a través de la incisión. Aquí he representado en un gráfico de contorno para el campo; recuerde que las líneas equipotenciales, no líneas de campo:
![Contour Plot]()
Así que usted puede resolver este problema como un problema de valor de frontera para la mitad superior del plano, donde el potencial se especifica en el $x$ eje de:
$$V(x) = \left\{\begin{array}{ll}+\pi&|x|<1\\0&\text{elsewhere}\end{array}\right.$$
y las condiciones de contorno de Dirichlet para el mismo problema para la mitad inferior del plano son:
$$V(x) = \left\{\begin{array}{ll}-\pi&|x|<1\\0&\text{elsewhere}\end{array}\right.$$
El complejo potencial para un único dipolo es $\Omega(z) = \frac{\mu}{z}\,e^{i\,\phi}$ donde $\mu$ es el momento dipolar y $\phi$ define la orientación del dipolo. Tenga en cuenta que, en un 2D de campo, estamos hablando de la línea de cargas (con líneas normales a la página) en lugar de puntos. Usted puede trabajar esto desde el campo eléctrico de dos líneas paralelas con una pequeña distancia entre ellos; luego tomar el límite cuando la distancia $\to0$ pero los cargos en aumento por lo que el momento dipolar permanece finita. Trabajar el potencial para eso y vas a entender mi afirmación anterior. Ahora consideramos una línea de la distribución de dipolos, a lo largo de la $x$ eje entre -1 y 1. Así tenemos que la suma de todas sus potencialidades como
$$\Omega(z) = \mu\,e^{i\,\phi}\, \int_{-1}^1\,\frac{du}{z-u}$$
Creo que usted debería ser capaz de reproducir su potencial de ahora.
