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La solución de una ecuación diferencial mediante el uso de la transformada de Laplace

Necesito solucionar este ecuaciones mediante el uso de laplace de transformación. Traté de resolverlo, pero cuando llego al punto de que es necesario el uso parcial de la fracción de expansión con el fin de transformar la inversa de laplace, llego $\Delta<0$ y no sé qué hacer a continuación? porque yo siempre tengo $\Delta\ge0$, me puedes ayudar queridos amigos? $$y''+9y=\sin2t$$
$$y(0)=1$$ $$y'(0)=1$$ Esto es lo que traté de hacer: $$L[y]=F(s);L[y']=S.F(s)-f(0);L[y'']=s^2.F(s) -s.f(0)-f'(0) \Rightarrow L[y'' + 9y] = L[\sin^2] \Rightarrow s^2.F(s)-s-1+9.F(s)={s^2\over s^2+4} \Rightarrow {2+(s^2+4)(s^2+1)\over (s^2+4)(s^2+9)} \Rightarrow $$ $${A\over s^2+4}+{B\over s^2+9}$$ that's it,here, I can't find $a,B$.

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Dmoreno Puntos 5388

La transformada de Laplace de $\sin{2t}$ $2/(s^2 +4)$ en lugar de $s^2/(s^2 +4)$, por lo que queda:

$$ F(s) = \frac{s^3+s^2+4 s+6}{\left(s^2+4\right) \left(s^2+9\right)} = \frac{B s + C}{s^2 + 4} + \frac{Ds + E}{s^2 + 9} = \frac{5 s+3}{5 \left(s^2+9\right)}+\frac{2}{5 \left(s^2+4\right)},$$ where I have used Mathematica to find out the corresponding coefficients. Inverse-Laplace transforming this should be easy. Can you take it from here? Do you need intermediate steps on finding the constants $B$, $C$,...?

Hope you find this helpful.

Cheers!


Edit: snippet to compute the solution in Mathematica

In[1]:= ode = y''[x] + 9  y[x] == Sin[2 x];

In[2]:= odes = 
  LaplaceTransform[ode, x, s] /. {y[0] -> 1 , y'[0] -> 1, 
    LaplaceTransform[y[x], x, s] -> Fs};

In[3]:= F = Fs /. Solve[odes, Fs] [[1]] // Apart

Out[3]= 2/(5 (4 + s^2)) + (3 + 5 s)/(5 (9 + s^2))

In[4]:= InverseLaplaceTransform[F, s, x];

Edit 2: as a remark, when you find a quadratic irreducible term in the denominator of the form $s^2 + k^2$ you should try a partial fraction decomposition of the form $(+ b)/(s^2 + k^2)$ instead of $/(s^2 + k^2)$.


Edit 3: how to obtain $B$, $C$, $D$ and $E$? We want:

$$ F(s) = \frac{\color{blue}{s^3+s^2+4 s+6}}{\left(s^2+4\right) \left(s^2+9\right)} = \frac{B s + C}{s^2 + 4} + \frac{Ds + E}{s^2 + 9} = \frac{\color{blue}{(Bs+C)(s^2 + 9) + (Ds + E)(s^2 + 4)}}{(s^2 + 4)(s^2+9)},$$ así que las piezas azules deben de coincidir. La mejor manera de hacer esto es por la coincidencia de cada potencia de $s$ en el numerador de la PREPA para el coeficiente correspondiente en el numerador de la RHS, que, tras la ampliación, está dada por:

$$ (B+D) s^3 + (C+E) s^2 + (9B + 4D) s + 9C+4E. $ $ , Por tanto, se requiere:

\begin{align} s^3: \quad & 1 = B+D, \\ s^2: \quad & 1 = C+E, \\ s^1: \quad & 1 = 9B + 4D, \\ s^0: \quad & 6 = 9C + 4E, \end{align} que esperemos que los rendimientos de la solución de su problema.

1voto

E.H.E Puntos 8642

la ecuación charecteristic $$m^2+9=0$$ $$m_1,_2=\pm 3i$$ $$y_p=C_1\cos 3t+C_2\sin 3t$$ para encontrar el particular soultion, debemos cambiar el $\sin^2t$ a $$\frac{1-\cos 2t}{2}$$ por lo tanto $$y''+9y=0.5-.5\cos 2t$$

podemos suponer que la solución particular como $$y_p=A+B\cos 2t+C\sin 2t$$

ahora puedes completar la solución para encontrar $A$,$B$, y $C$

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