Obtén de manera eficiente de punto A a punto B.

Question

Esta es una pregunta que me surgio mientras cruzaba la calle.

Supongamos que estás parado en la esquina inferior izquierda de un rectángulo.
Tu objetivo es moverte a la esquina superior derecha, eficientemente, considerando las siguientes reglas:

• A medida que te acercas al centro, se vuelve más peligroso.
• Quieres llegar lo más rápido posible a la esquina superior derecha.

Sea $a \in (0,1)$ la importancia de la regla #1.
Sea $b \in (0,1)$ la importancia de la regla #2.

Entonces, si $a=0.5$ y $b=0.5$ entonces tu camino sería una línea recta entre las dos esquinas.
¿Cuál sería la función general para la curva? (el camino) para cualquier $a,b$

Answer 1

Este es un problema de cálculo de variaciones, por lo que no hay una solución realmente simple. Algunas sugerencias para comenzar: dado que tu regla $a$ se refiere a la distancia al origen, quieres escribir tu trayectoria en coordenadas polares; solo necesitas un parámetro (ya que puedes normalizar por $a+b=1;$ pero también quieres decir cuánto más peligroso se vuelve a medida que te acercas al centro. Una vez que declares tu problema adecuadamente, las técnicas son bastante estándar (el cálculo de variaciones ha existido aproximadamente tanto tiempo como el cálculo en sí).